Цепные дроби (стр. 13 из 17)

В общем случае элементы цепной дроби

и ,k>1 могут принимать произвольные, отличные от 0 рациональные значения, а может также быть равно нулю.

При помощи цепных дробей общего вида одно и то же рациональное число можно представить различными способами. Например,

.

В цепной дроби (1), которую записывают также иначе, например,

( ) или ( ) числа и (k=2, 3, …) называют звеньями, и – членами k–го звена, из них – частным числителем, а – частным знаменателем.

Чтобы получить разложение рационального числа

в конечную цепную дробь (1), можно все и , за исключением одного, выбрать произвольно.

Можно, например, найти разложение

; для этого следует положить . Можно цепную дробь преобразовать так, чтобы все были равны 1, то есть, чтобы (1) приняло вид (2).

Так, например,

. Дроби вида (2) называют обыкновенными цепными дробями, а , , …, – их неполными частными. Правильные цепные дроби можно поэтому определить как обыкновенные цепные дроби с целыми положительными неполными частными, начиная с , причем может быть любым целым числом.

Правильные цепные дроби являются наиболее простыми и наиболее изученными среди цепных дробей общего вида, однако и другие цепные дроби играют большую роль и имеют важные применения, например, в приближенном анализе, где при их помощи без сложных выкладок получают дробно-рациональные приближения функций.

Рассмотрим обзорно некоторые свойства цепных дробей общего вида.

Происхождение таких цепных дробей связано с обобщенным алгоритмом Евклида.

Если мы имеем систему равенств

, , , … с произвольными рациональными числами, то при b, c, d 0, из них следуют равенства , , , …, так что, подставляя по цепочке, получаем .

k-я подходящая дробь

определяется для по формуле при условии, что , , , .

Пользуясь ею, найдем, например, подходящие дроби для разложения

. Имеем = , , , , , . Заметим, что получаемые в процессе рекуррентного вычисления подходящие дроби могут быть сократимыми, но сокращать их можно лишь при определенных условиях.

Свойства подходящих дробей цепных дробей общего вида с положительными элементами и правильных цепных дробей вполне аналогичны.

Бесконечная цепная дробь (1) называется сходящейся, если существует конечный предел

; в таком случае принимается за значение этой дроби. Не всегда общие бесконечные цепные дроби являются сходящимися, даже тогда, когда они имеют лишь положительные элементы.

Существует ряд признаков сходимости цепных дробей:

Пусть дана непрерывная дробь вида

, где ,

1) Пусть

, все члены последовательностей , действительные числа и для всех , начиная с некоторого. Если для такихk выполняется неравенство , то цепная дробь сходится.

2) Пусть

и все члены последовательности , начиная сk=2 положительны. Тогда цепная дробь сходится тогда и только тогда, когда ряд расходится (теорема Зейделя).

Интересной особенностью цепных дробей общего вида является то, что даже рациональные числа могут ими разлагаться в бесконечные цепные дроби. Например, имеется разложение

= , , , , , …

0,3; 0,42; 0,45; 0,467; …

Примечательно то, что квадратические иррациональности разлагаются и в непериодические цепные дроби общего вида.

Например, имеется разложение

= , , , , , , , …