Цепные дроби (стр. 17 из 17)

Все решения могут быть найдены по формулам

или

c) 23x+49y=53

(23, 49)=1

существуют целые решения.

=(0, 2, 7, 1, 2)

, , , ,

17·23-8·49=(-1)⁵

23·17+49·(-8)=-1

23·(-901)+49·424=53

или

9. Разложите число 150 на два положительных слагаемых, одно из которых кратно 11, а второе – 17.

Решение: Пусть 11x – первое число 11x>0 x>0;17y - второе число 17y>0 y>0.

Тогда 11x+17y=150

(11, 17)=1

существуют решения.

(11, 17)=(0, 1, 1, 1, 5)

0	1	1	1	5
	0	1	1	2	11
	1	1	2	3	17

11·3-2·17=(-1)⁵=–1

11·3+17·(-2)=-1

11·(-450)+17·300=150

x=-450+27·17=9

99 - первое число

y=300-11·27=3

51 - второе число.

Ответ: 99; 51.

10. Решить уравнения Пелля:

a)

b)

Решение:

a)

Представим

в виде цепной дроби:

=(5, (10)).

Количество чисел в периоде нечетное (одна)

=(5; 10)= .

- наименьшее положительное решение.

Ответ: x=51, y=10.

b)

=(4, (2, 1, 3, 1, 2, 8))

Количество чисел в периоде четное (шесть)

4	2	1	3	1	2
	4	9	13	48	61	170
	1	2	3	11	14	39

Ответ: x=170, y=39.

Заключение

Данная курсовая работа показывает значение цепных дробей в математике.

Их можно успешно применить к решению неопределенных уравнений вида ax+by=c. Основная трудность при решении таких уравнений состоит в том, чтобы найти какое-нибудь его частное решение. Так вот, с помощью цепных дробей можно указать алгоритм для разыскания такого частного решения.

Цепные дроби можно применить и к решению более сложных неопределенных уравнений, например, так называемого уравнения Пелля:

( ).

Бесконечные цепные дроби могут быть использованы для решения алгебраических и трансцендентных уравнений, для быстрого вычисления значений отдельных функций.

В настоящее время цепные дроби находят все большее применение в вычислительной технике, ибо позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ.

Литература:

1. М.Б. Балк, Г.Д. Балк. Математика после уроков. М, «Просвещение», 71.

2. А.А. Бухштаб. Теория чисел. М, «Просвещение», 96.

3. Алгебра и теория чисел. Под редакцией Н.Я. Виленкина, М, «Просвещение», 84.

4. И.М. Виноградов. Основы теории чисел. М, «Наука», 72.

5. А.А. Кочева. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. М, «Просвещение», 84.

6. Л.Я. Куликов, А.И. Москаленко, А.А. Фомин. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М, «Просвещение», 93.

7. Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев. Алгебра и теория чисел. М, «Просвещение», 74.

8. Математическая энциклопедия, том V, М, «Советская энциклопедия», 85.

9. Ш.Х. Михелович. Теория чисел. М, «Высшая школа», 67.