Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 2 из 8)

ЗАДАНИЕ 4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БЕЙЕСА

1. В магазин поступили телевизоры с двух заводов в соотношении 30% с завода №1 и 70% с завода №2. Продукция завода №1 содержит 5% телевизоров со скрытым дефектом, а завода №2-10%. Найти вероятность того, что купленный телевизор содержит скрытый дефект.

2. Пусть мы находимся в условиях предыдущей задачи. Известно, что купленный телевизор оказался со скрытым дефектом. Требуется найти вероятность того, что он произведен на заводе №2.

3. В урне 1 содержится 3 белых и 3 черных шара, а в урне №2 содержится 5 белых и 1 черный шар. Из случайно выбранной урны достается один шар. Какова вероятность того, что это белый шар?

4. В условиях предыдущей задачи, стало известно, что вынутый шар оказался белый. Какова вероятность того, что случайно выбрана была урна №2.

5. Известно, что 5% всех мужчин и 3% всех женщин - дальтоники. В группе из 100 человек 60 мужчин и 40 женщин. Найти вероятность того, что случайно выбранный человек - дальтоник.

6. Пусть мы находимся в условиях предыдущей задачи и предположим, что выбранный человек - дальтоник. Какова вероятность, что это женщина.

7. Вероятность того, что "хороший" эксперт оценит неправильно ценную бумагу равна 0,05, эта вероятность для "среднего" эксперта 0,15. В конторе работает 5 "хороших" и 3 "средних" эксперта. Для оценки ценной бумаги случайным образом выбран эксперт. Найти вероятность того, что ценная бумага будет оценена неправильно.

8. Пусть мы находимся в условиях предыдущей задачи. И пусть известно, что ценная бумага оценена неправильно. Какова вероятность того, что ошибку допустил "хороший" эксперт.

9. Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает 5% брака, второй - 4%. Для контроля отобрано 20 деталей с первого цеха и 10 деталей со второго. Эти детали смешаны в одну партию, и из нее на удачу извлекают одну деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?

10.В условиях предыдущей задачи стало известно, что деталь оказалась бракованная. Какова вероятность того, что она из цеха №1.

ЗАДАНИЕ 5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

В следующих задача дискретная случайная величина задана законом распределения. Требуется построить функцию распределения, найти математическое ожидание, моду, дисперсию, среднее квадратичесоке отклонение, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии.

1.	х	0	1	4
p	0.3	0.6	0.1

2.	х	-1	1	2
p	0.25	0.25	0.5

3.	x	-1	0	4
p	0.1	0.3	0.6

4.	x	-2	0	2
p	0.1	0.3	0.6

5.	x	-5	0	5
p	0.1	0.6	0.3

6.	X	-1	0	2
P	0.2	0.2	0.6

7.	X	0	1	6
P	0.5	0.4	0.1

8.	X	-3	0	3
P	0.4	0.2	0.4

9.	X	-2	0	5
P	0.5	0.1	0.4

10.	X	-1	0	1
P	0.4	0.2	0.4

В следующих задачах непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятности:

Требуется вычислить константу А и математическое ожидание Х. Найти вероятность Р(с<x<d) и изобразить это решение на графике плотности распределения.

11. a=0, b=3, c=1, d=2. 16. a=3, b=8, c=0, d=5.

12. a=0, b=2, c=1, d=3. 17. a=3, b=10, c=1, d=2.

13. a=1, b=5, c=2, d=3. 18. a=4, b=8, c=1, d=5.

14. a=1, b=7, c=5, d=10. 19. a=5, b=10, c=0, d=7.

15. a=1, b=10, c=5, d=7. 20. a=5, b=8, c=7, d=8.

ЗАДАНИЕ 6. СХЕМА БЕРНУЛЛИ

1. Вероятность рождения мальчика равна 0,52. Случайная величина Х- число родившихся мальчиков среди 1000 новорожденных. Найти числовые характеристики Х и вероятности

а) Р (

=520) б) Р(510£ £530).

2.Вероятность того, что клиенту страховой компании понадобится страховка равна 0,01. Случайная величина Х- число клиентов, которые обратятся в страховую компанию за страховкой из 10000 застраховавшихся. Найти числовые характеристики Х и вероятности а) Р(

=100) б)Р(90£ £110).

3. Вероятность того, что зашедший в магазин посетитель приобретет товар равна 0,35. Случайная величина Х- число посетителей, которые приобрели товар из 1000 вошедших в магазин. Найти числовые характеристики Х и вероятности

а) Р(Х=350) б) Р(320£Х£380).

4. По предварительным опросам известно, что 40% опрошенных готовы проголосовать на выборах мэра города за №. Найти вероятность того, что из 50000 жителей, имеющих право проголосовать, за № отдадут голоса а) ровно 20000 человек; б) от 15000 до 25000 человек.

5. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,1. Найти вероятность, что среди 500 деталей окажется бракованными а) ровно 50; б) от 40 до 60.

6. Вероятность нарушения герметичности банки консервов 0,001. Найти вероятность того, что среди 20000 банок с нарушениями окажутся а) ровно 20; б) от 15 до 25.

7. Всхожесть семян данного растения составляет 80%. Найти вероятность того, что среди 200 посаженных семян взойдет а) ровно 160; б) от 140 до 180.

8. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка будет повреждена равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит поврежденными: а) ровно 3 бутылки; б) более 5 бутылок.

9. Книга издается тиражом 10000 экземпляров. Технология изготовления предполагает, что вероятность того, что в книге будет иметься дефект брошюровки равна 0,0003. Найти среднее число книг с дефектом брошюровки. Найти вероятность того, что число книг с дефектом брошюровки будет: а) хотя бы одна; б) более 4.

10. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении часа равна 0,005. Найти числовые характеристики Х- числа элементов отказавших в течении часа. Найти вероятность того, что в течении часа откажет а) хотя бы один элемент; б) от 4 до 6 элементов.

ЗАДАНИЕ 7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА. РАВНОМЕРНОЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Число сообщений Х, поступающих на пульт диспетчера в течении часа, подчиняется закону Пуассона с параметром l=5(сообщений в час). Найти числовые характеристики Х и вероятности следующих событий:

а) Р(Х=0); б) Р(Х>3).

2. В порт в среднем приходит 2,5 судна в день. Предполагается, что Х- число судов зашедших в порт в течении суток, имеет распределение Пуассона. Найдите числовые характеристики Х и вероятности следующих событий:

а) Р(Х³1); б) Р(х£3).

3. Интервалы времени между приходами в порт судов распределены по показательному закону с интенсивностью l=5 (часов). Найти числовые характеристики Х- время между приходами двух судов. Вычислить: а)

Р(Х

(1,2)); б) Р(Х (4,6))

4. Время между двумя сообщениями, поступающими на торговую площадку (с.в.Х), имеет показательное распределение с параметрами l=0,5 (часа). Найти числовые характеристики Х и следующие вероятности а)

Р(Х<0,2); б) Р(0,3<X<0,7).

5. С.в. Х - время безотказной работы элемента имеет показательное распределение, причем известно, что среднее время безотказной работы элемента рано 1,5 суток. Найти числовые характеристики Х и следующие вероятности:

а) Р(Х<1); б) Р(1,4<Х<1,6).

6. Случайная величина Х- время обслуживания клиентов в мастерской имеет показательное распределение с функцией распределения F(х)=1-е^-3х(отсчет времени берется в часах). Найти числовые характеристики Х и следующие вероятности

а) Р(Х<0,5) б) Р(0,2<X<0,4).

7. Автобусы некоторого маршрута имеют интервал движения 10 мин. С.в. Х - время, в течении которого пассажиру придется ждать автобус, имеет равномерное распределение. Найти числовые характеристики Х и вероятность того, что пассажир будет ждать автобус более 3 минут.

8. С.в. Х - имеет равномерное распределение на отрезке [2,6]. Найти функцию распределения и плотность распределения вероятности, числовые характеристики Х и вероятность Р(Х

(3,4)).

9. Шкала лабораторных весов имеет цену деления 1 грамм. При взвешивании вес округляется в ближайшую сторону. Какова вероятность, что абсолютная ошибка определения массы: а) будет заключена между DX и 2DX? б) будет менее 0,2 грамма.

10.Минутная стрелка часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в настоящий момент часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 15 секунд.

ЗАДАНИЕ 8. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРАВИЛО 3-Х СИГМ

1. Автомат штампует детали. Контролируемый размер является случайной величиной Х, имеющей нормальное распределение с параметром а=50,

=0,02. Выписать функцию распределения и плотность распределения с.в. Х. Деталь считается годной, если ее размеры попадают в интервал от 49,96 до 50,04. Найдите процент бракованных деталей.

2. Жирность молока коров в область (в %) есть нормально распределенная с.в. с математическим ожиданием равным 4% и среднеквадратическим отклонением 0,03. Вычислить вероятность того, что в наудачу взятой пробе жирность молока будет: а) более 4%; б) менее 4%; в) от 3,95 до 4,05%. Выписать плотность распределения данной с.в.