Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 4 из 8)
| 4. | Границы интервала | 0-6 | 6-12 | 12-18 | 18-24 | 24-30 | 30-36 | 36-42 |
| Частота | 2 | 9 | 19 | 35 | 24 | 13 | 6 |
| 5. | Граница интервала | 0-4 | 4-8 | 8-12 | 12-16 | 16-20 | 20-24 |
| Частота | 7 | 16 | 55 | 22 | 4 | 2 |
| 6. | Граница интервала | 10-14 | 14-18 | 18-22 | 22-26 | 26-30 | 30-34 |
| Частота | 10 | 31 | 65 | 25 | 8 | 3 |
| 7. | Граница интервала | 1-5 | 5-9 | 9-13 | 13-17 | 17-21 | 21-25 | 25-29 |
| Частота | 3 | 29 | 56 | 81 | 67 | 19 | 8 |
| 8. | Граница интервала | 14-16 | 16-18 | 18-20 | 20-22 | 22-24 | 24-26 |
| Частота | 12 | 20 | 78 | 45 | 10 | 3 |
| 9. | Граница интервала | 7-9 | 9-11 | 11-13 | 13-15 | 15-17 | 17-19 | 19-21 |
| Частота | 2 | 35 | 97 | 86 | 45 | 26 | 4 |
| 10. | Граница интервала | 30-32 | 32-34 | 34-36 | 36-38 | 38-40 | 40-42 | 42-44 |
| Частота | 19 | 43 | 101 | 95 | 40 | 13 | 3 |
ЗАДАНИЕ 13. ИсслЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ
В следующих задачах следует построить уравнение регрессии вида
Сделать вывод о возможности использования линию регрессии в дальнейших прогнозах.1. Данные о выпуске продукции (Y) и энерговооруженности (X) на 6 предприятиях.
| Xi | 2 | 3 | 5 | 6 | 6 | 7 |
| Yi | 2,5 | 5,5 | 10 | 10 | 11,5 | 13,5 |
2. Данные об удельной величине спроса товаров (Y) и среднедушевого дохода (Х).
| Xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 6 |
| Yi | 3,5 | 6,1 | 7,5 | 7,8 | 8,2 | 8,1 |
3. Данные об объеме валового продукта (Y) и затратами на капитальные вложения (Х) по 6 предприятиям.
| Xi | 1 | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| Yi | 4,5 | 5,1 | 10,3 | 18,1 | 19,2 | 19,8 |
4. Данные об объеме выпуска продукции (Y) и ее себестоимости.
| Xi | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Yi | 8,5 | 9,1 | 11,2 | 12,8 | 15,1 | 17,3 |
5. Данные о долговечности элемента (Y) и величине эксплуатационного напряжения (Х).
| Xi | 6 | 7 | 7 | 8 | 9 | 9 |
| Yi | 40,1 | 45,4 | 46,2 | 53,2 | 59,5 | 60,2 |
6. Данные об урожайности (Y) и количестве весенних осадках (Х).
| Xi | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Yi | 0,8 | 3,5 | 4,2 | 7,1 | 9,8 | 13,1 |
7. Данные об урожайности (Y) и механовооруженности (Х)
| Xi | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 5 |
| Yi | 4,2 | 3,9 | 4,8 | 5,1 | 6,2 | 7,7 |
8. Данные о зависимости стоимости сооружения (Y) и срока ее эксплуатации (Х).
| Xi | 1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 6 |
| Yi | 0,7 | 4,2 | 7,3 | 7,1 | 10,3 | 15,6 |
9. Данные об изменении массы просят (Y) и возраста (Х).
| Xi | 4 | 5 | 7 | 7 | 8 | 10 |
| Yi | 12,6 | 14,2 | 16,3 | 15,9 | 17,4 | 18,8 |
10. Данные о производительности труда (Y) и фондовооруженности (Х).
| Xi | 2 | 4 | 6 | 6 | 7 | 8 |
| Yi | 0,8 | 5,2 | 8,7 | 9,2 | 11 | 13,2 |
IV. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Пример_1. Студент знает 15 вопросов из 25. Наудачу ему задается вопрос. Найти вероятность того, что он его знает.
Решение: Мы находимся в классической схеме. Действительно, если представить эксперимент
в виде урновой схемы - в урне 25 пронумерованных шаров из которой достается один шар- то ясно, что все исходы равновозможные и их конечное число. Далее A={студент знает предложенный вопрос}, m=15- число исходов благоприятствующих А, n=25- общее число исходов. Тогда
.Пример 2. Из колоды в 36 карт, достается одна. Найти вероятность того, что она "красная".
Решение: Обозначим А={наудачу вынутая карта- "красная"}; m=18- число исходов благоприятствующих А, т.к. в колоде из 36 карт, 18 "красных" карт; n=36- общее число исходов. Тогда по классическому определению вероятности
.Пример 3.Стрелок произвел 100 выстрелов по мишени, причем поразил мишень в 45 случаях. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень.
Решение: Подсчитаем относительною частоту события А={стрелок поразит мишень при одном выстреле}.
.Таким образом искомая вероятность Р(А)=0,45.
Пример 4. Вероятность того, что событие А произойдет в опыте равна 0,75; вероятность того, что событие В произойдет в опыте- 0,4. Вероятность того, что оба события произойдут в опыте равна 0,25. Найти вероятность того, что хотя бы одно событие произойдет в опыте.
Решение: Обозначим А={событие А произошло в опыте}, В={событие В произошло в опыте}
Тогда А×В={события А и В произошли в опыте одновременно}.
Р(А)=0,75; Р(В)=0,4; Р(А×В)=0,25.
Используя теорему о сумме двух совместных событий получим
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А×В)=0,75+0,4-0,25=0,9.
Пример 5. Деталь проходит три операции обработки. Вероятность появления брака во время первой операции равна 0,02, второй- 0,01, третьей- 0,03. Найти вероятность: а) выхода стандартной детали, считая появление брака во время отдельных операций независимыми событиями; б) выхода бракованной детали.
Решение: а) введем события А={на выходе появилась стандартная деталь}, Аi={i-я операция обработки прошла без брака}, i=1,2,3. Тогда А=А1×А2×А3. По условию задачи Р(А1)=0,98; Р(А2)=0,99; Р(А3)=0,97.Используя теорему умножения для независимых событий, получаем.
Р(А)=Р(А1×А2×А3)=Р(А1)×Р(А2)×Р(А3)=0,98×0,99×0,97=0,9411.
б)
={на выходе появилась бракованная деталь}.Тогда 
Пример_6. Партия деталей содержит 70% деталей первого завода и 30% деталей второго завода. Вероятность того, что деталь с первого завода проработает без отказа более 1000 часов (надежность) равна 0,95 , а для деталей со второго завода эта вероятность равна 0,9.
а) Найти вероятность того, что случайно взятая из партии деталь проработает без отказа более 1000 часов.
б) Деталь прошла испытание и проработала безотказно 1000 часов. Найти вероятность того, что она с первого завода.
Решение: Введем события А={деталь проработает без отказа более 1000 часов}.Hi={взятая деталь с завода i} , i=1,2 по условию задачи P(H1)=0,7 ; P(H2)=0,3 ; P(A/H1)=0,95 ; P(A/H2)=0,9.
По формуле полной вероятности
P(A)= P(H1)×P(A/H1)+ P(H2)×P(A/H2)=0,7×0,95+0,3×0,9=0,935.
Таким образом, партия деталей (большое количество) будет содержать где-то 93,5% деталей с заданной надежностью. б) Сохраним обозначения п. а). по формуле Бейеса
.Пример 7. Найти числовые характеристики с.в. Х , построить функцию распределения если:
| Х | -4 | 0 | 8 |
| Р | 0,2 | р | 0,6 |
Решение: р=1-(0,2+0,6)=0,2. График ф.р.
МХ=-4×0,2+0×0,2+8×0,6=4, DX=MX2-(MX)2=(-4)2×0,2+02×0,2+82×0,6-(4)2=25,6.
Среднее квадратическое отклонение
,коэффициент вариации
.Мода(Х)=8, т.к. 8 имеет наибольшую вероятность, равную 0,6. Коэффициент асимметрии
.Пример 8. Вероятность того, что в данный день торговая база уложится в норму расходов на транспорт, равна 0,8. Какова вероятность того, что за три рабочих дня база уложится в норму 2 раза. Найти числовые характеристики с.в. Х- число дней, когда база укладывается в норму транспортных расходов в течение трех рассматриваемых дней.
Решение: Можно считать, что мы находимся в схеме Бернулли, а следовательно с.в. Х имеет биномиальное распределение. По условию задачи n=3 , p=0,8.
Тогда
Основные числовые характеристики с.в. Х равны: а) математическое ожидание MX= n×p=3×0,8=2,4; б) дисперсия DX= n×p×q=3×0,8×0,2=0,48; q=1-p=0,2,