Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 5 из 8)

»0,7;

в) коэффициент вариации

;

г) коэффициент асимметрии

;

д) коэффициент эксцесса

;

е) Мода (наивероятнейшее число) находится из неравенства

np-q£Мода(Х)<np+p , т.е. 3×0,8-0,2£Мода(Х)<3×0,8+0,8

2,2£Мода(Х)<3,2ÞМода(Х)=3.

Пример 9. В условиях предыдущего примера, найти вероятность того, что из 100 рабочих дней торговая база уложится в норму транспортных расходов:

а) ровно 80 раз; б) от 75 до 85 дней включительно.

Решение: а) в нашем случае n=100; p=0,8; q=0,2.

Воспользоваться точной формулой для вычисления Р(Х=80) практически невозможно, поэтому воспользуемся приближенной. Так как npq=100×0,8×0,2=16>9,то применим локальную теорему Муавра- Лапласа.

j(0)- найдено по таблице 3 приложения-плотности нормального распределения N(0,1);

б) воспользуемся интегральной теоремой Муавра- Лапласа.

=2Ф(1,25)=2×0,39435=0,7887

здесь Ф(Х)- функция Лапласа, значение которой найдено по таблице.

Пример 10. Вероятность того, что наборщик ошибется при наборе знака равна 0,0001. Найти вероятность того, что набирая 30000 знаков, наборщик допустит:

а) ровно 3 ошибки; б) от 2 до 4 ошибок включительно.

Решение: Можно считать, что мы находимся в схеме Бернулли с параметрами n=30000, p=0,0001. Тогда npq=30000×0,0001×0,9999»3<9, поэтому для вычисления отдельных вероятностей воспользуемся теоремой Пуассона:

l=np, k=0,1,2,...

а)пользуясь таблицей, получим

, l=np=3.

б)

=0,22404+0,22404+0,16803=0,61611.

Пример 11. С.в. Х имеет распределение Пуассона со средним равным 1,5. Найти числовые характеристики Х. Вычислить вероятности: а) Р(Х=0); б) Р(Х³1); в) Р(Х>7).

Решение: Для с.в. имеющей распределение Пуассона с параметром l известно, что МХ=l. Следовательно, из условия задачи (МХ=1,5) находим, что l=1,5.Числовые характеристики Х равны

МХ=l=1,5 ; DХ=l=1,5; среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации

Коэффициент асимметрии

Коэффициент эксцесса

Моду с.в. Х найдем по таблице: Мода(Х)=1, т.к. Х=1 имеет наибольшую вероятность.а) По таблице находим Р(Х=0)=0,22313; б)

Р(Х³1)=1-Р(Х=0)=0,77687;

в) Р(Х>7)=0,00017.Эта вероятность найдена по таблице 2 приложения, она настолько мала, что можно считать, что больше 7 событий практически не происходят.

Пример 12. Из урны содержащей четыре белых и шесть черных шаров, наудачу извлекают три шара. Какова вероятность, что среди них два черных шара. Найдите числовые характеристики с.в. Х- число черных шаров из вынутых трех шаров.

Решение: Мы находимся в схеме формирования с.в. Х имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами (N,p,n):

k=0,1,2,..., q=1-p. В нашем случае: N=6+4=10 - общее число шаров в урне; n=3 - число шаров, которые достаются из урны; Np=6 - количество черных шаров, Þp=6/N=6/10=0,6 (p связано с черными шарами, т.к. Х- тоже связано с черными шарами);

Nq=4 - число белых шаров,Þq=0,4. Итак:

Числовые характеристики с.в. Х равны MX=n×p=3×0,6=1,8 ;

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации

Коэффициент асимметрии

Пример 13. С.в. Х имеет показательное распределение с параметром l=2. Найти числовые характеристики с.в. Х и вычислить Р(1<X<3).

Решение: Числовые характеристики с.в. Х вычисляются по формулам:

-математическое ожидание;

-дисперсия;

среднее квадратическое отклонение;

V(X)=100% -коэффициент вариации

всегда равен 100% ; Медиана

(Х)=

График плотности с.в. Х имеет вид изображенный на рис.1. Из этого графика видно, что локальный максимум плотности находится в точке О.

Следовательно Мода(Х)=0.

Коэффициент асимметрии a(Х)=2 (всегда 2).

Коэффициент эксцесса е(Х)=6 (всегда 6).

рис.1

Пример 14.

С.в. Х имеет нормальное распределение с параметрами а=150, s²=36.

а) Выпишите плотность с.в. Х и изобразите эскиз графика плотности.

б) Найти числовые характеристики с.в. Х.

в) Найти границы за которые практически не выходит с.в. Х.

г) Вычислить Р(135<X<165).

Решение: а) Выпишем плотность с.в. Х:

б) Найдем числовые характеристики Х.

МХ=Мода(

)=Медиана(

)=а=150

D(X)=s²=36Þs(x)=

=s=6

Коэффициенты асимметрии и эксцесса равны 0. Коэффициент вариации

в) используя правило 3 сигм, можно утверждать, что с.в. Х практически (с вероятностью 0,9973) не выйдет за границы интервала а-

3s<X<a+3s, т.е. 150-3×6<X<150+ 3×6sÞ132<X<168;

г) Р(135<X<165)=Ф

здесь Ф(×)-функция Лапласа, значение которой найдено по таблице. Отметим свойство функции Ф(х):Ф(-х)=-Ф(х) поэтому Ф(-2,5)=- Ф(2,5)=-0,49379.

Пример 15. Найдите выборочные числовые характеристики по выборке: 3,5,6,3,3,6,3,7,5,5,3.

Решение: Построим статистический ряд частот:

Варианты х_i	3	5	6	7
Частота n_i	5	3	2	1

Объем выборки

n=n₁+n₂+n₃+n₄=5+3+2+1=11.

;

S²=

Оценки

являются "хорошими" для математического ожидания и дисперсии, т.к. выборка является малой, а

Мода(Х)=3, т.к. значение 3 встречается большее число раз (пять). Построим вариационный ряд: 3,3,3,3,3,5,5,5,6,6,7.Т.к. n-нечетно (n=11), то на месте (n+1)/2=6 в вариационном ряде стоит медиана: Медиана(Х)=5.

Коэффициент асимметрии

a^*(х)=

Пример 16. По выборочным данным найти

моду, медиану. Построить гистограмму.

Интервал	Частота n_i
5-11	18
11-17	25
17-23	14
23-29	8
29-35	2

Решение: Построим гистограмму частот

Для удобства

Интервал	Середина интервала	Частота n_i	Накопленная частота
вычислений	5-11	8	18	18
составим	11-17	14	25	43
таблицу.	17-23	20	14	57
23-29	26	8	65
29-35	32	2	67
S=67

При вычислении

Медиана оценивается по формуле Медиана= L+i