Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 6 из 8)
Здесь L- нижняя граница интервала, в котором находится медиана (медианный интервал);
i- величина медианного интервала; n- объем выборки; f- частота медианного интервала;
F- накопленная частота интервала, предшествующему медианному.
В нашем случае n=67, следовательно, медиана равна члену, стоящему на (n+1)/2=34-м месте в вариационном ряду. По накопленным частотам заключаем, что этот член находится в интервале (11,17). Следовательно, медианный интервал (11,17). Тогда L=11, i=6, (n+1)/2=34, f=25, F=18 и, следовательно
Медиана = 11+6×
.Мода находится по формуле Мода= L+i
где L- нижняя граница модального интервала, i- величина модального интервала
fмо, fмо-1, fмо+1 частота модального, предшествующего модальному и следующего за модальным интервала. В нашем случае модальный интервал [11,17], т.к. имеет наибольшую частоту. Тогда L=11, i=6,
fмо=25, fмо-1=18, fмо+1=14; Мода =
Пример 17. Найти 97,5% доверительный интервал для неизвестного параметра а нормально распределенного признака, если известно s=7,3. По выборке объема n=64 найдено
.Решение Требуемый доверительный интервал равен
,где надежность g=0,975 позволяет найти Ug из уравнения 2Ф(Ug)=0,975. Из таблицы 4 приложения находим Ug=2,24. Тогда
;120,3-2,044<a<120,3+2,044;118,256<a<122,344.
Пример 18. В условиях предыдущего примера, определите минимальный объем выборки, чтобы с надежностью g=0,975 точность оценки была не больше 0,5.
Решение: Точность оценки зависит от выражения
Подставляя Ug=2,24 ; s2=7,32=53,29 ; e2=0,52=0,25 ,получим
Таким образом, минимальный объем выборки должен составлять 1070 измерений.
Пример 19. По выборке объема n=25 найдены
. Считая, что наблюдаемый признак имеет нормальное распределение найдите доверительный интервал с надежностью 0,9.Решение. Искомый доверительный интервал равен
где
находится по таблице 5 приложения:Здесь a=1-g=0,1; К=n-1=25-1=24, тогда t0,1(24)=1,711. Итак,
e
; 16,3-0,71<a<16,3+0,71; 15,59<a<17,01.Пример 20 Признак имеет нормальное распределение. По выборке объема n=30 найдена оценка дисперсии S2 =1,5. Найдите 95% доверительный интервал для дисперсии.
Решение: Доверительный интервал определяется так
,Здесь a=1-0,95=0,05;
тогда из таблицы 7 приложения находим 
, 0,95<s2<2,7.Пример 21. Произведено 529 испытаний, в которых события А наблюдалось 70 раз. Найдите 93% доверительный интеграл для вероятности р события А.
Решение. Искомый доверительный интервал находится так: р1<p<p2, где
,здесь g=0,93, Ug находится из уравнения Ф(Ug)=g/2=0,465Þ по таблице 4 функции Лапласа находим Ug=1,811. Вычислим
Итак: 0,1323-0,0267<p<0,1323+0,0267; 0,1056<p<0,159.
Пример 22. Необходимо проверить точность работы двух агрегатов А и В по контролируемому признаку. Для этого были взяты две выборки nA=9, nB=12
соответственно, по которым найдено 
. Требуется проверить гипотезу о том, что точность работы агрегатов одинакова, если известна, что контролируемый признак имеет нормальное распределение.Решение: Проверку проведем по F-критерию:
,здесь
m1=nA-1=9-1=8, т.к. А имеет большую дисперсию, m2=nВ-1=12-1=11. По таблице, находим при a=0,1 Fкр=F(a/2=0,05;8;11)=2,95. Т.к. Fнаб.<Fкр., то нет основания считать, что точность работы агрегатов разная.
Пример 23. Нужно проверить влияние двух различных кормовых добавок на увеличение веса свиней. Для этого 10 свиней кормили с добавкой А, а других 8 с добавкой В. По выборочным данным вычислим
Решение Уровень значимости возьмем a=0,1.Первый этап. Проверим гипотезу о равенстве дисперсии
.Т.к. Fнаб<Fкр, то гипотезу о равенстве дисперсий принимаем. Второй этап. Проверим гипотезу о равенстве увеличения веса для двух добавок (Н0:МХ=МУ).
Используем t – критерий:
.Выберем a=0,05. Найдем для k=n1+n2-2=10+8-2=16 степеней свободы по таблице 5 приложения tкр=t(0,05;16)=2,12. Т.к.½tнаб½>tкр, то различия признаются существенными. Следовательно добавка В дает больший привес в весе.
Пример 24. Фактический сбыт в шести районах характеризуется таблицей (выборкой).
| Район | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Объем сбыта | 90 | 130 | 110 | 85 | 75 | 110 |
Согласуются ли эти результаты с предложением о том, что сбыт продукции в этих районах одинаков?
Решение: Выберем уровень значимости a=0,05. Если гипотеза Н0: сбыт одинаков - верна, то теоретически объем сбыта в 600 у.е. (90+130+110+85+75+110=600) должен распределиться одинаково по шести районам, т.е. по 100 у.е. на каждый район. Дальнейшие вычисления сведем в таблицу.
| Район |  |  |  |  |
| 123456 | 901301108575110 | 100100100100100100 | 100900100225625100 | 1912,256,251 |
| S | 20,5 |
Таким образом:
Т.к. мы не оценивали ни один параметр, то по числу степеней свободы k=6-1=5 и уровню значимости a=0,05 по таблице 7 приложения находим
, то различие в сбыте по районам признается значимым и не может быть объяснено действием случайного фактора.Пример_25. Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки:
| Интервал | 10-12 | 12-14 | 14-16 | 16-18 | 18-20 | 20-22 | 22-24 |
| Частота | 2 | 4 | 8 | 12 | 16 | 10 | 3 |
Решение: Для проверки гипотезы будем использовать критерий Пирсона. Уровень значимости выберем a=0,1. Т.к. нормальное распределение определяется двумя параметрами а и s2, то оценим их по выборке, объем которой равен: n=2+4+8+12+16+10+3=55.
Итак:
Для удобства вычисления статистики
будем промежуточные результаты вносить в таблицу. Объединим крайние интервалы с соседними, так, чтобы выполнилось условие 
| I | II | III | IV | V | VI |
| № интервала | Интервал |  | Pi |  |  |
| 12345 | -¥;1414;1616;1818;2020;+¥ | 68121613 | 0,09590,16860,25760,24840,2295 | 5,2749,27314,16813,66212,623 | 0,0100,1750,3320,4000,011 |
 | n=55 | 1 | 0,928 |
Здесь Рi- вероятность того, что с.в. Х попадает в соответствующий интервал Di при условии, что она имеет нормальное распределение с параметрами а=17,84; s2=8,53 (s=2,92). Например, используя таблицу 4 приложения, находим:
