Площади многоугольников (стр. 10 из 18)

б) Пусть на границе многоугольника отмечено r точек (включая все вершины), внутри – ещё i точек. Тогда существует триангуляция с вершинами в отмеченных точках, причём количество треугольников такой триангуляции будет равно

.

Разумеется, а) – частный случай б), когда

.

Справедливость этой теоремы следует из следующих утверждений.

1) Из вершины наибольшего угла n-угольника (

) всегда можно провести диагональ, целиком лежащую внутри многоугольника.

2) Если n-угольник разрезан диагональю на р-угольник и q-угольник, то

.

3) Сумма углов n-угольника равна

.

4) Любой n-угольник можно разрезать диагоналями на

треугольника.

5) Для любого треугольника, внутри и на границе которого отмечены несколько точек (в том числе и все три его вершины), существует триангуляция с вершинами в отмеченных точках.

6) То же самое верно и для любого n-угольника.

7) Число треугольников триангуляции равно

, где i и r – количество отмечены несколько точек соответственно внутри и на границе многоугольника.Назовём разбиение n-угольника на несколько многоугольников правильным, если каждая вершина одного из многоугольников разбиения служит вершиной всех других многоугольников разбиения, которым она принадлежит.8) Если из вершин k-угольников, на которые разбит правильным образом n-угольник, i вершин лежат внутри и r – на границе n-угольника, то количество k-угольников равно

.

9) Если

точек плоскости и отрезков с концами в этих точках образуют многоугольник, правильно разбитый на многоугольников, то (рис. 1.38)

.

Рис. 1.38

Из теорем 1 и 2 и вытекает формула Пика:

.

1.5 Теорема Пифагора о сумме площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника

Теорема. Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника .Доказательство. Пусть АВС (рис. 1.39) – прямоугольный треугольник, а BDEA, AFGE и BCKH – квадраты, построенные на его катетах и гипотенузе; требуется доказать, что сумма площадей двух первых квадратов равна площади третьего квадрата.

Рис. 1.39

Проведём

^ВС. Тогда квадрат BCKH разделится на два прямоугольника. Докажем, что прямоугольник BLMHравновелик квадрату BDEA, а прямоугольник LCKM равновелик квадрату AFGC.

Проведём вспомогательные прямые DC и АН. Рассмотрим треугольники DCB и ABH. Треугольник DCB, имеющий основание BD, общее с квадратом BDEA, а высоту СN, равную высоте АВ этого квадрата, равновелик половине квадрата. Треугольник АВН, имеющий основание ВН, общее с прямоугольником BLMH, и высоту АР, равную высоте BL этого прямоугольника, равновелик его половине. Сравнивая эти два треугольника между собой, находим, что у них BD = ВА и ВС = ВН (как стороны квадрата);

Сверх того, ÐDCB = ÐАВН, т. к. каждый из этих углов состоит из общей части - ÐАВС и прямого угла. Значит, треугольники АВН и ВСD равны. Отсюда следует, что прямоугольник BLMN равновелик квадрату BDEA. Точно также доказывается, что прямоугольник LGKM равновелик квадрату AFGC. Отсюда следует, что квадрат ВСКН равновелик сумме квадратов BDEA и AFGC.

1.6 Равносоставленность треугольников. Теорема Больяя-Гервина

Немало формул и теорем в геометрии доказывается с помощью разрезания фигур, а затем перекладывания их частей – вспомним, например, теорему Пифагора. Если две фигуры можно разрезать на одинаковые наборы частей (т. е. между частями из таких наборов можно установить взаимнооднозначное соответствие, при котором соответственные части равны), то эти фигуры называются равносоставленными. Равносоставленные фигуры, разумеется, равновелики – они имеют равные площади. Для многоугольников верна и обратная теорема: любые два равновеликих многоугольников равносоставлены. В 1832 г. Её доказал венгерский математик Фаркаш Больяй, а годом позже, но независимо от него, немец П. Гервин. Ключ к доказательству – перекройка прямоугольника, показанная на рисунке 1.40: разрезав «низкий» прямоугольник на два треугольника и пятиугольник, сдвинув треугольники вдоль наклонной линии разреза, мы получаем другой, «высокий» прямоугольник.

Рис. 1.40

Этим способом данный прямоугольник не трудно превратить почти в любой другой равновеликий ему – надо только, чтобы новый прямоугольник был «выше» исходного, но не более, чем вдвое. Если же отношение высот прямоугольников больше двух (рис. 1.41, а), «низкий» можно «сделать повыше» с помощью простого преобразования (рис. 1.41, б), применённого нужное число раз.

а) б)

Рис. 1.41

Теперь любой многоугольник мы сумеем перекроить в прямоугольник какой-то фиксированной высоты h: разрежем его на треугольники, каждый треугольник превратим в прямоугольник (рис. 1.42), приведём полученные прямоугольники к некоторой постоянной высоте h и состыкуем вертикальными сторонами.

Рис. 1.42

Если два треугольника равновелики, то соответствующие им прямоугольники к некоторой постоянной высоте h равны. Таким образом, эти многоугольники равносоставлены с одной и той же фигурой, а отсюда уже заключаем, что они равносоставлены между собой.

1.7 Отношение площадей подобных треугольников

Теорема 1. Площади двух треугольников, имеющих по равному углу, относятся, как произведения сторон, заключающих эти углы.

Доказательство. Пусть в треугольниках АВС и

(рис. 1.43) углы А и равны.

Рис. 1.43

Проведя высоты

и , будем иметь:

.

Треугольники

и подобны (ÐА = ÐА₁ и ÐD = ÐD₁ = =90⁰), поэтому ; заменив первое отношение вторым, получим:

.

Теорема 2. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Доказательство. 1) Если

и - два подобных треугольника, то углы одного равны соответственно углам другого; пусть

ÐА = ÐА₁, ÐВ= = ÐВ₁, ÐС = ÐС₁.

Применим к ним предыдущую теорему:

. (1.14)

Но из подобия треугольников следует:

(1.15)

Поэтому в равенстве (1.14) мы можем каждое из отношений

и заменить любым отношением ряда (1.15), следовательно,

.

2) Если

и (рис. 1.44) – два подобных многоугольника, то их можно разложить на одинаковое число подобных и одинаково расположенных треугольников.

Рис. 1.44

Пусть эти треугольники будут: