Площади многоугольников (стр. 12 из 18)

заключаем, что произведение их достигает наибольшей величины тогда, когда множители станут равны, т. е. когда осуществится равенство

,

откуда

.

Итак, треугольник имеет при данном периметре наибольшую площадь тогда, когда стороны его равны между собой.

Глава 2. Методические особенности изучения площадей многоугольников в математических классах

2.1 Тематическое планирование и особенности преподавания в классах с углубленным изучением математики

№	Содержание изучаемого материала	Кол-во часов
Площади многоугольников.	26
1	Вычисление площадей в древности.	1
2	Различные подходы к изучению понятий «площадь», «многоугольник», «площадь многоугольника».
Понятие о площади. Свойства площади.	1
Понятие о многоугольнике.	1
Понятие о площади многоугольника. Дескриптивное определение.	1
3	Различные формулы площадей многоугольников.	1
4	Вывод формул площадей многоугольников
Площадь треугольника. Формула Герона.	2
Площадь прямоугольника.	1
Площадь трапеции.	1
Площадь четырёхугольника.	2
Универсальная формула.	1
Площадь n-угольника.	3
Вычисление площади многоугольника по координатам его вершин.	2
Формула Пика.	3
5	Теорема Пифагора.	2
6	Равносоставленность многоугольников. Теорема Больяя-Гервина.	1
7	Отношение площадей подобных многоугольников	1
8	Фигуры с наибольшей площадью	2

В углубленном изучении математики выделяются два этапа, отвечающие возрастным возможностям и потребностям и потребностям школьников и соответственно различающимся по целям.

Первый этап углубленного изучения математики является в значительной мере ориентационным. На этом этапе ученику надо помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им, с тем, чтобы по окончании IX класса он смог сделать сознательный выбор в пользу дальнейшего углубленного выбор в пользу дальнейшего углубленного либо обычного изучения математики. Интерес и склонность учащегося к математике должны всемерно подкрепляться и развиваться. В случае же потери интереса, изменения его в другом направлении ученику должна быть обеспечена возможность перейти от углубленного изучения к обычному.

Углубленное изучение на втором этапе предполагает наличие у учащихся более или менее устойчивого интереса к математике и намерение выбрать после окончания школы связанную с ней профессию. Обучение на этом этапе должно подготовить подготовку к поступлению в вуз и продолжению образования, а также к профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры.

При углубленном изучении математики учащиеся должны приобрести умения решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать доказательства теорем, правильно пользоваться математической терминологией и символикой.

Следует иметь в виду, что требования к знаниям и умениям учащихся при углубленном изучении математики не должны быть завышены. Чрезмерность требований порождает перегрузку, что ведёт, особенно на первом этапе, к угасанию интереса к математике. Поэтому требования к результатам углубленного изучения математики на первом этапе ненамного превышает требования общеобразовательной программы. Требования на втором этапе в соответствии с его целями согласуются со средним уровнем требований, предъявляемых вузами к математической подготовке абитуриентов. Заметим, что минимальный обязательный уровень подготовки, достижение которого учащимися является необходимым и достаточным условием выставления ему положительной оценки, при углубленном и обычном изучении математики один и тот же. Однако тем учащимся классов с углубленным изучением математики, успехи которых в течении длительного времени не поднимаются выше минимального обязательного уровня.

Успешность решения задач углубленного изучения математики во многом зависит от организации учебного процесса. Учителю предоставляется возможность свободного выбора методических путей и организационных форм обучения, проявления творческой инициативы. Однако при этом следует иметь в виду ряд общих положений, изложенных ниже.

- Учебно-воспитательный процесс должен строится с учётом возрастных возможностей и потребностей учащихся.

- Основной причиной отсева школьников из классов с углубленным изучением математики является перегрузка, поэтому не следует стремиться к чрезмерному насыщению программы дополнительными вопросами.

- Углубленное изучение математики предполагает прежде всего наполнение курса разнообразными, интересными и сложными задачами, овладение основным программным материалом на более высоком уровне.

- Для поддержания и развития интереса к предмету следует включать в процесс обучения занимательные задачи, сведения из истории математики. Это особенно важно на первом этапе, когда интерес учащихся ещё недостаточно устойчив.

- На втором этапе возрастает роль теоретических знаний, становятся весьма значимыми такие их качества, как системность и обобщённость. Значительное место должно быть уделено решению задач, отвечающих требованиям для поступающих в вузы, где математика является профилирующим предметом.

- В связи с тем, что в классы с углубленным изучением приходят школьники с разным уровнем подготовки, в процесс обучения на каждом этапе должны быть включены повторение и систематизация опорных знаний.

- Учебный процесс должен быть ориентирован на усвоение учащимися прежде всего основного материала; при проведении текущего и итогового контроля знаний качество усвоения этого материала проверяется в обязательном порядке.

- Значительное место в учебном процессе должно быть отведено самостоятельной математической деятельности учащихся – решению задач, проработке теоретического материала, подготовке докладов, рефератов и т. д.

- Очень важно организовать дифференцированный подход к учащимся, позволяющий избежать перегрузки и способствующий реализации возможностей каждого из них.

2.2 Методика проведения уроков

Урок 1

Тема: «Решение задач с использованием свойств площадей»

Цель: Освоение различных путей поиска решения задач с использованием свойств площадей.

Оборудование: Таблица «Свойства площадей».

С – 1 С – 2

С – 3 С – 4

С – 5 С – 6

С - 7 С – 8

Рис. 2.1

Ход урока

Сегодня мы на уроке будем решать задачи с использованием свойств площадей.

Двух учеников приглашают к доске.

I. Запишите на доске все формулы площади треугольника.

II. Запишите на доске формулы площади трапеции.

Ответы

I. 1). 2) 3) , где 4) 5) , r – радиус вписанной в треугольник окружности6)

II. 1). 2) , где MN – средняя линия трапеции 3) ,где d1, d2 – диагонали трапеции, α – угол между ними 4) ,где с – боковая сторона трапеции, h –перпендикуляр из середины другой боковой стороны на первую или её продолжение

Пока ученики записывают формулы, спросить учеников с мест правила «Свойства площадей».

Ответ

1). Каждая фигура имеет положительную площадь.

2). Площадь квадрата со стороной равной единице длины равна единице площади.

3). Если фигура разбивается на две части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей.

Рассмотрите площади треугольника, написанные на доске.

Вопрос. Какая из формул является основной?

Ответ.

.

Назовите следствия из этой формулы, используя таблицу «Свойства площадей».

С–1. Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не изменится.