Случайные величины (стр. 10 из 13)

, (42.1)

где

- любое действительное число и

. Соотношение (42.1) называют неравенством Чебышева.

Сначала рассмотрим доказательство неравенства, следующего из (42.1) при

:

. (42.2)

Доказательство неравенства Чебышева удобнее рассматривать отдельно для непрерывной и для дискретной случайных величин. При этом доказательства являются относительно простыми, а ход доказательств вполне очевиден. В то время как универсальное доказательство, справедливое и для непрерывной и для дискретной случайных величин оказывается значительно более сложным. Рассмотрим непрерывную случайную величину

с плотностью вероятности

. Тогда в соотношении

первое слагаемое можно представить в виде

,

поэтому

.

Здесь использовано неравенство

- справедливое на области интегрирования. Полученное выражение совпадает с неравенством (42.2). Аналогично выполняется доказательство для дискретной случайной величины.

Теперь случайную величину

в (42.2) можно заменить на случайную величину

, где

- любое действительное число, тогда из (42.2) следует неравенство Чебышева (42.1). Это неравенство определяет границу сверху для вероятности

или, как говорят, больших уклонений

случайной величины

от числа

. Большие уклонения понимаются в смысле их превышения над заданным числом

.

42.2. Пусть

, тогда неравенство Чебышева (42.1) имеет вид

. (42.3)

Теперь минимальное уклонение

можно измерять в единицах среднеквадратического уклонения

случайной величины

, т.е. положить

, (42.4)

где

- коэффициент пропорциональности. Подставим (42.4) в (42.3), тогда

. (42.5)

Если правая часть

, то (42.5) не представляет какого-либо ограничения на случайную величину, поскольку вероятность

не может выходить за пределы интервала

. Поэтому коэффициент

в (42.5) имеет смысл рассматривать только большим:

. Отсюда очевидна интерпретация неравенства Чебышева как неравенства, определяющего границу сверху вероятности больших уклонений.

Пусть

- непрерывная случайная величина с плотностью вероятности

, тогда неравенству Чебышева (42.1) можно дать простую геометрическую интерпретацию, представленную на рис. 42.1.

Рис. 42.1. Иллюстрация к неравенству Чебышева.

Здесь указаны числа

,

и

, заштрихованная площадь - это вероятность

.

Коэффициент асимметрии

Среднее и дисперсия случайной величины

- это числа, которые определяют такие свойства ее плотности вероятности

как положение центра и эффективную ширину. Очевидно, эти два числа не отражают всех особенностей плотности, в частности, степень симметрии или асимметрии плотности относительно математического ожидания - это новая характеристика, которую можно определить как некоторое число.

Для любой симметричной плотности

центральные моменты нечетного порядка равны нулю (доказательство приводится ниже). Поэтому простейший среди них - центральный момент третьего порядка может характеризовать асимметрию плотности распределения:

, (43.1)

где

- математическое ожидание,

- центральный момент

- го порядка.

Асимметрию принято характеризовать коэффициентом асимметрии

, (43.2)

где

- дисперсия случайной величины

.

Рассмотрим доказательство утверждения о том, что для симметричной плотности

центральные моменты нечетных порядков равны нулю.

1). Пусть

- симметричная функция относительно некоторой точки

, тогда

, (43.3)

поскольку

- антисимметричная функция относительно

. Отсюда следует:

. (43.4)

Таким образом, если

- симметричная функция относительно точки

, то

- точка симметрии плотности вероятности – это математическое ожидание случайной величины.

2). Пусть

- нечетное целое и

- симметричная функция, тогда

, поскольку

- симметрична относительно математического ожидания

, и

- антисимметрична относительно

.