Случайные величины (стр. 9 из 13)
40.3. В некоторых случаях для вычисления дисперсии удобно использовать формулу (40.3). Например, для экспоненциально распределенной случайной величины 
плотность имеет вид (35.8), а ее среднее 
. Вычислим
. (40.9)
Интеграл в (40.9) вычисляется по частям:
.
Таким образом, 
. Полученный результат подставим в формулу (40.3), тогда
. 40.10)
40.4. Вычислим дисперсию числа успехов в вероятностной схеме Бернулли, как пример вычисления дисперсии дискретной случайной величины. При этом также используем формулу (40.3), т.е. на первом шаге вычислим среднее от квадрата 
, а затем используя ранее полученный результат, дисперсию по формуле (40.3). Итак, среднее от квадрата
, (40.11)
где 
- распределение вероятностей Бернулли, поэтому
. (40.12)
Пусть 
, тогда 
и
.(40.13)
Здесь 
- вероятность появления 
успехов в последовательности из 
опытов. Поэтому 
, как вероятность достоверного события, состоящего в том, что число успехов будет любым в интервале от 
до 
. Первая сумма в (40.13) 
как математическое ожидание числа успехов в последовательности из опытов в соответствии с формулой (38.9). Подставим эти результаты в (40.13), тогда
. (40.14)
Теперь
. (40.15)
Моменты случайной величины
41.1. Математическое ожидание и дисперсия являются примерами моментов случайной величины, которые определяются следующим образом.
Начальным моментом порядка 
непрерывной случайной величины с плотностью распределения вероятности 
называется число
. (41.1)
Порядок момента - это неотрицательное целое число, т.е. 
.
Начальным моментом порядка дискретной случайной величины , принимающей значения 
с вероятностями 
, 
, называется число
. (41.2)
Определение (41.1) можно рассматривать как универсальное определение для непрерывных и для дискретных случайных величин. В последнем случае плотность вероятности выражается через 
- функцию согласно формуле (34.4). Однако на практике для вычисления момента дискретной величины удобнее использовать соотношение (41.2).
Центральным моментом порядка случайной величины называется число
. (41.3)
Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности центральный момент порядка имеет вид:
. (41.4)
41.2. Из всего множества начальных и центральных моментов обычно используются моменты невысоких порядков, до 
включительно, как более простые характеристики случайной величины. Применение моментов высоких порядков, 
, ограничено. Во-первых, при больших моменты могут не существовать, поскольку могут расходиться интегралы (41.1), (41.4). И во-вторых, интерпретация моментов высших порядков затруднена.
Рассмотрим начальные моменты, начиная с 
. При этом из (41.1) следует
. (41.5)
Итак, начальный момент нулевого порядка 
для любой случайной величины, следовательно, этот момент не отражает каких-либо свойств случайной величины, т.е. не является ее характеристикой. При 
из (41.1) следует, что момент первого порядка - это математическое ожидание случайной величины. Разные случайные величины могут иметь разные математические ожидания, и поэтому число 
является характеристикой случайной величины: число указывает положение центра ее плотности вероятности.
Момент второго порядка
(41.6)
- это среднее квадрата 
случайной величины, и т.д.
Рассмотрим аналогично центральные моменты (41.4). При получаем 
- одинаковый результат для любой случайной величины. Поэтому данный момент не является характеристикой случайной величины, поскольку не отражает каких-либо ее свойств. При 
. Этот результат также одинаков для любой случайной величины, поэтому центральный момент первого порядка не является характеристикой случайной величины. При 
из (41.4) получаем дисперсию
(41.7)
- важнейшую числовую характеристику случайной величины и т.д.
Моменты третьего и четвертого порядков будут рассмотрены в дальнейшем.
Неравенство Чебышева
42.1. Пусть случайная величина имеет конечный момент второго порядка , тогда