Случайные величины (стр. 2 из 13)
(29.1)
является функцией аргумента 
. Это усложняет математическое описание случайной величины, но при этом описание (29.1) становится единственным, устраняется неоднозначность выбора отрезков 
.
Для каждого из рассмотренных примеров несложно определить вероятностное пространство 
, где 
- пространство элементарных событий, 
- 
- алгебра событий (подмножеств ), 
- вероятность, определенная для любого 
. Например, в последнем примере 
, - - алгебра всех отрезков 
, содержащихся в 
.
Рассмотренные примеры приводят к следующему определению случайной величины.
Пусть - вероятностное пространство. Случайной величиной 
называется однозначная действительная функция 
, определенная на , для которой множество элементарных событий вида 
является событием (т.е. принадлежат ) для каждого действительного числа 
.
Таким образом, в определении требуется, чтобы для каждого вещественного множество 
, и это условие гарантирует, что для каждого определена вероятность события . Это событие принято обозначать более краткой записью 
.
Функция распределения вероятностей
Функция
, 
, (30.1)
называется функцией распределения вероятностей случайной величины .
Функция 
иногда называется кратко – функция распределения, а также – интегральным законом распределения вероятностей случайной величины . Функция является полной характеристикой случайной величины, то есть представляет собой математическое описание всех свойств случайной величины и более детального способа описания этих свойств не существует.
Отметим следующую важную особенность определения (30.1). Часто функцию определяют иначе:
, . (30.2)
Согласно (30.1) функция является непрерывной справа. Этот вопрос подробнее будет рассмотрен ниже. Если же использовать определение (30.2), то - непрерывна слева, что является следствием применения строгого неравенства в соотношении (30.2). Функции (30.1) и (30.2) представляют собой эквивалентные описания случайной величины, поскольку не имеет значения каким определением пользоваться как при изучении теоретических вопросов, так и при решении задач. Для определенности в дальнейшем будем использовать только определение (30.1).
Рассмотрим пример построения графика функции . Пусть случайная величина принимает значения 
, 
, 
с вероятностями 
, 
, причем 
. Таким образом, другие значения кроме указанных данная случайная величина принимает с нулевой вероятностью: 
, для любого 
, . Или как говорят, других значений кроме , , случайная величина не может принимать. Пусть для определенности 
. Найдем значения функции для из интервалов: 1) 
, 2) 
, 3) 
, 4) 
, 5) 
, 6) 
, 7) 
. На первом интервале , поэтому функция распределения 
. 2). Если , то 
. Очевидно случайные события 
и 
несовместны, поэтому по формуле сложения вероятностей 
. По условию событие невозможное и 
, а 
. Поэтому 
. 3). Пусть , тогда 
. Здесь первое слагаемое 
, а второе 
, поскольку событие 
- невозможное. Таким образом 
для любого , удовлетворяющего условию . 4). Пусть , тогда 
. 5). Если , то 
. 6) При имеем 
. 7) Если , то 
. Результаты вычислений представлены на рис. 30.1 графиком функции . В точках разрыва , , 
указана непрерывность функции справа.