Случайные величины (стр. 6 из 13)
, (35.12)
где 
, 
- вероятности успеха и неуспеха в одном опыте. Таким образом, функция распределения вероятностей случайной величины 
имеет вид
, (35.13)
где 
- функция единичного скачка. Отсюда плотность распределения:
, (35.14)
где 
- дельта-функция.
Сингулярные случайные величины
Кроме дискретных и непрерывных случайных величин существуют еще так называемые сингулярные случайные величины. Эти случайные величины характеризуются тем, что их функция распределения вероятностей 
- непрерывна, но точки роста образуют множество нулевой меры. Точкой роста 
функции называется значение ее аргумента 
такое, что производная 
.
Таким образом, 
почти всюду на области определения функции. Функцию , удовлетворяющую этому условию, также называют сингулярной. Примером сингулярной функции распределения является кривая Кантора (рис. 36.1), которая строится следующим образом. Полагается 
при 
и 
при 
. Затем интервал 
разбивается на три равных части (сегмента) и для внутреннего сегмента 
определяется значение 
- как полусумма уже определенных значений на ближайших сегментах справа и слева. На данный момент функция определена для , ее значение , и для со значением . Полусумма этих значений равна 
и определяет значение на внутреннем сегменте . Затем рассматриваются отрезки
Рис. 36.1. Построение кривой Кантора.
и 
, каждый из них разбивается на три равных сегмента и функция определяется на внутренних сегментах как полусумма ближайших справа и слева заданных значений функции . Таким образом, при 
функция 
- как полусумма чисел 
и 
. Аналогично на интервале 
функция 
. Затем функция определяется на интервале 
, на котором 
и т.д.
Суммарная длина всех внутренних сегментов равна
Поэтому, рассматривая интервал , говорят что функция - постоянная на множестве меры 1, на множестве меры 0 растет, но без скачков.
Известна теорема Лебега. Любая функция распределения может быть единственным образом представлена в виде суммы трех компонент: дискретной, непрерывной и сингулярной.
Сингулярные распределения практически не встречаются в реальных задачах и поэтому исключаются из нашего дальнейшего изучения.
Математическое ожидание случайной величины
37.1. Функция распределения вероятностей или плотность вероятности являются полными вероятностными характеристиками случайной величины. Однако, во многих задачах такая полная характеристика случайной величины, с одной стороны, может быть неизвестна для исследователя, а с другой стороны и не обязательна, достаточно ограничиться значением некоторых параметров распределения вероятностей, т.е. некоторых чисел (или числовых характеристик). Здесь уместна аналогия с геометрическим описанием сложной формы твердого тела, когда ограничиваются такими характеристиками (числами) как длина, ширина, высота, объем, момент инерции, и т.д., а детальное описание сложной формы этого тела не рассматривается. Числовыми характеристиками случайных величин чаще всего служат так называемые моменты распределения, простейшим из которых является математическое ожидание случайной величины.
Прежде чем вводить определение математического ожидания случайной величины, рассмотрим выражение среднего арифметического результатов измерения дискретной случайной величины. Пусть случайная величина может принимать значения 
соответственно с вероятностями 
. Результат измерения случайной величины в каждом опыте - это одно из чисел . Пусть выполнено 
опытов, среди них в 
опытах случайная величина принимала значение 
, в 
опытах - значение 
,..., в 
опытах - значение 
. Очевидно, 
- полное число опытов. Пусть 
- среднее арифметическое результатов измерения случайной величины в опытах, тогда
, (37.1)
где 
- частота появления числа 
при измерении случайной величины в опытах. С увеличением числа опытов величина 
приближается к числу 
. Поэтому для того, чтобы определить теоретический аналог среднего арифметического достаточно в формуле (37.1) частоту заменить на вероятность 
. Это приводит к следующему определению.