Структура некоторых числовых множеств (стр. 10 из 22)
Общий случай исчерпывается способом математической индукции.
Замечание. Сумма бесконечного множества замкнутых множеств может и не быть замкнутым множеством. Рассмотрим множества
.Все
- замкнуты, но их сумма 
не замкнута.Теорема 5. Пересечение любого множества замкнутых множеств есть множество замкнутое.
Доказательство
Пусть
- замкнутые множества (отмечены знаком 
для отличия друг от друга) и 
- их пересечение. Тогда 
, откуда следует 
и тем более 
. Так как это верно при любом 
, то 
, то есть 
.Теорема доказана
Лемма 1. Пусть множество Е ограничено сверху (снизу) и
( 
), тогда 
( 
).Доказательство
Если
, то и подавно 
Допустим же, что
. Так как при каждом е>0 существует такая точка 
, что 
, то любой интервал, содержащий точку 
, содержит и точки множества 
, которые, очевидно, отличны от 
, так как 
. Значит, 
это предельная точка множества 
, стало быть, 
.Итак, всегда
.Лемма доказана.
Теорема 6. В ограниченном сверху (снизу) замкнутом множестве F есть самая правая (самая левая) точка.
Доказательство
Действительно, пусть
. Тогда по лемме 
.Теорема доказана.
Определение 2. Пусть
- точечное множество, а 
- некоторая система интервалов. Если для каждого 
существует интервал 
такой, что 
, то говорят, что множество покрыто системой интервалов .Теорема 7. (Э. Борель). Если замкнутое ограниченное множество
покрыто бесконечной системой интервалов , то из последней можно извлечь конечную систему 
, также покрывающую множество .Доказательство
Допустим противное.
Пусть из
нельзя извлечь никакой конечной системы интервалов, покрывающей множество F (отсюда, между прочим, вытекает, что множество 
бесконечно).Заключим F в некоторый отрезок
, поскольку F ограничено, и положим 
Не может оказаться, чтобы каждое из множеств
и 
могло быть покрыто конечный числом интервалов системы , потому что в этом случае и все множество покрывалось бы конечным числом этих интервалов. Значит, хотя бы одни из отрезков 
и 
содержит подмножество , которое не может быть покрыто конечным подмножеством . Обозначим через 
тот из отрезков, который содержит такое подмножество . При этом, если оба отрезка и 
содержат такие подмножества , которые не могут быть покрыты конечными подмножествами , то через обозначим только одни из них, какой - безразлично. Ясно, что множество 
бесконечно.Положим теперь
и обозначим через 
тот из отрезков 
и 
, который содержит подмножество множества , которое не может быть покрытым конечным числом интервалов системы 
.В том, что хотя бы один из отрезков
и этим свойством обладает, мы убеждаемся так же, как и выше (если они оба им обладают, то через 
мы обозначим только одни из них).Продолжая этот процесс, мы построим последовательность вложенных отрезков
, обладающих тем свойством, что ни одно из множеств 
( 
) не может быть покрыто конечным числом интервалов системы (и, стало быть, каждое из этих множеств бесконечно).Так как длина отрезка
, равная 
, с возрастанием 
стремится к нулю, то тогда по теореме Кантора о вложенных отрезках существтует точка х0, общая для всех отрезков 
, причем 
.