Структура некоторых числовых множеств (стр. 14 из 22)

Следствие 3. Если точка

и замкнутое множество таковы, что , то .

Теорема 2. Если замкнутое множество А непустое и отлично от всей числовой прямой R, то оно не может оказаться открытым.

Доказательство

Допустим противное

Пусть

, А замкнуто и А открыто. Тогда таково же и его дополнение . Пусть отрезок, содержащий точки обоих множеств А и В. Обозначим через и точки, для которых , и положим . Тогда и одно из соотношений выполняется. Пусть хотя бы . Тогда , что неверно, так как .

Теорема доказана

Для доказательства одной из важных теорем «отделимости» понадобиться несколько лемм.

Лемма 1. Пусть А непустое точечное множество и

. Положим

Тогда

и В есть открытое множество.

Доказательство

Включение

очевидно.

Докажем, что множество В открыто. Пусть

. Тогда и в А найдется такая точка , что . Положим и покажем, что интервал содержится в В. Отсюда будет следовать, что внутренняя точка В, а, стало быть В открыто.

Возьмем произвольную точку

. Тогда , и так как , то . Значит, , и тем более , значит . Таким образом, действительно .

Лемма доказана

Лемма 2

Пусть

и два непустых множества, причем

.

Положим

,

Тогда

Доказательство

Допусти противное.

Пусть

и . Тогда , , и найдутся точки и такие, что , , откуда , значит , что невозможно.

Лемма доказана

Теорема 3. (Свойство отделимости). Пусть

и два взаимно не пересекающихся непустых замкнутых ограниченных множества. Существуют открытые множества и такие, что

, ,

Доказательство

По следствию 1 (стр. 36) имеем

.

Положим

и применим леммы 1 и 2 (стр. 37).

Теорема доказана

Замечание. Условие ограниченности множеств

и можно снять без нарушения справедливости теоремы. А условие замкнутости обоих множеств существенно, что видно хотя бы из примера

§ 5. Структура открытых и замкнутых ограниченных множеств

Определение 1. Пусть

открытое множество. Если интервал содержится в , но его концы этому множеству не принадлежат

то мы будем называть этот интервал составляющим интервалом множества

.

Теорема 1. Если

есть непустое ограниченное открытое множество, то каждая его точка принадлежит некоторому его составляющему интервалу.

Доказательство

Пусть

. Положим . Каждое из множеств и замкнуто, а поэтому множество также замкнуто.

Кроме того, поскольку

ограничено, не пусто.

Наконец, ни одна точка множества

не лежит левее точки , так что множество ограничено снизу. В таком случае в этом множестве есть самая левая точка , причем, . Но , значит , так что , то есть . Так как , значит .