Структура некоторых числовых множеств (стр. 16 из 22)

3. Никаких других, кроме отмеченных в 1 и 2, изолированных точек

не имеет.

Доказательство

Утверждение 1 и 2 очевидны. Докажем 3.

Пусть

есть изолированная точка . Допустим сначала, что . По определению изолированной точки, существует содержащий эту точку интервал , в котором нет отличных от точек множества , причем, очевидно, . Но тогда интервал .

Согласно теореме 4 (стр. 40), существует дополнительный интервал

множества , содержащий интервал . Если бы было , то точка не принадлежала бы множеству , поэтому необходимо, чтобы . Но неравенство противоречило бы тому, что . Значит , то есть является левым концом одного из дополнительных интервалов множество .

Совершенно также устанавливается, что

служит и правым концом какого-то дополнительного интервала , откуда и следует 3.

Случай

и исчерпывается таким же образом.

Теорема доказана

Теорема 7. Всякое непустое ограниченное совершенное множество

есть отрезок, или получается из некоторого отрезка удалением конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих интервалов, которые не имеют общих концов ни друг с другом, ни с исходным отрезком. Обратно, всякое множество, полученное этим способом, совершенно.

Пример совершенного множества

Канторовы множества

и . Разделим отрезок на три части точками и и удалим из него интервал . Каждый из двух оставшихся отрезков и разделим на три части и удалим средние интервалы , . Далее делим на три равные части каждый из оставшихся четырех отрезков и удаляем из них средние интервалы. Этот процесс мы продолжаем неограниченно.

В результате из

окажется удаленным открытое множество , являющееся суммой счетного множества интервалов.

Оставшееся множество

в силу теоремы 7 (стр. 42) оказывается совершенным. Множества и носят название канторовых множеств.

Нетрудно дать арифметическую характеристику этих множеств. Рассмотрим разложение в троичную дробь. Выясним, какие точки попадают в первый из удаленных интервалов

. При разложении каждой из этих точек в троичную дробь , необходимо окажется .

Концы же этого интервала допускают каждый по два представления:

;

Все остальные точки отрезка

при разложении в троичную дробь не могут иметь на первом месте после запятой единицу.

Итак, на первом шагу процесса построения множества

из отрезка удаляются те и только те точки, первый троичный знак которых единица.

Аналогично, можно установить, что на втором шагу удаляются те и только те точки, второй троичный знак которых единица, и т.д.

Поэтому после окончания процесса останутся неудаленными те и только те точки, которые могут быть изображены троичной дробью

, в которой ни одно из не равно единице. Таким образом, множество состоит из точек, троичное разложение которых невозможно без помощи единицы, а - из точек, для которых такое разложение возможно.Следствие 1. Канторово совершенное множество имеет мощность

Замечание. Полученный результат показывает, что, кроме концов удаленных интервалов (которых есть только счетное множество), канторово множество

содержит и другие точки. Примером такой «не концевой» точки служит дробь , не содержащая 0 или 2 в периоде.

§ 6. Точки конденсации. Мощность замкнутого множества.

Теорема 1. Всякое непустое совершенное множество

имеет мощность .

Доказательство

Пусть

непустое совершенное множество. Возьмем точку и интервал , содержащий эту точку. Так как точка x не изолированная точка , то множество бесконечно.

Выберем в

две различные точки и и построим такие интервалы и , чтобы при было: