Структура некоторых числовых множеств (стр. 13 из 22)

Теорема доказана

§ 4. Расстояния и отделимость.

Определение 1. Пусть

и две точки числовой прямой. Число называется расстоянием между точками и и обозначается через .

Замечание. Очевидно, что

= , и что .

Определение 2. Пусть

некоторая точка и непустое точечное множество. Точная нижняя граница расстояний между и точками множества называется расстоянием между точкой и множеством и обозначается через или .

Замечание. Очевидно,

всегда существует и не отрицательно. Если , то , но обратное утверждение было бы неверно. Например, если , а , то , но .

Определение 3. Пусть

и два непустых точечных множества. Точная нижняя граница расстояний между точками множества и точками множества называется расстоянием между множествами и и обозначается через

Замечание. Очевидно, что

существует всегда и что . Если множества и пересекаются, то , но обратное утверждение неверно. Например, если , , то , но .

Замечание. Расстояние между точкой

и множеством Е есть не что иное, как расстояние между множеством Е и множеством , единственной точкой которого является

Теорема 1. Пусть

и два непустых замкнутых множества, причем хоть одно из них ограничено. Тогда существуют такие точки , , что .

Доказательство

По определению точной нижней границы, для каждого натурального

существуют две точки

, такие, что

По условию одно из множеств

и ограничено. Допустим, например, что это А. Тогда ограничена последовательность и по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее выделяется сходящаяся подпоследовательность , . В силу замкнутости множества А, точка должна принадлежать этому множеству, .

Рассмотрим последовательность

Если

, то

Отсюда видно, что последовательность

тоже ограничена и значит из нее выделяется подпоследовательность , имеющая предел, . При этом, благодаря замкнутости множества В, будет . Нетрудно видеть, что

Теорема доказана.

Замечание. Данная теорема становится неверной, если оба множества А и В не ограничены. Например, пусть

и ( ). Оба эти множества замкнуты и , но так как , то двух точек , , для которых было бы , не существуют. Ясно также, что если хоть одно из множеств и не замкнуто, то теорема также неверна, что видно хотя бы из примера где

Следствие 1. Если А и В замкнуты, хоть одно из них ограничено и

, то А и В пересекаются.

Следствие 2. Пусть

произвольная точка и непустое замкнутое множество. Тогда в есть точка , для которой .