Структура некоторых числовых множеств (стр. 22 из 22)

Рис. 12

Т.о. получаем

.

Рассмотрим

- открытые множества, значит множество есть пересечение счетного множества открытых множеств.

Т.к.

- произвольное замкнутое множество, то утверждение доказано.

Решение

При подробном анализе представленного доказательства можно заметить, что в решении содержится ошибочное предположение, а именно, что множества

замкнуты

В результате чего данное доказательство теряет свою силу.

Задача №6

Доказать, что каждое замкнутое множество есть пересечение счетного множества открытых множеств.

Доказательство

Пусть

- некоторое замкнутое множество.

Рассмотрим множества

где

Тогда

, - открытое множество и по лемме 1 (стр. 37), а значит

Возьмем произвольную точку

, тогда по следствие 3 (стр. 36).

А значит можно найти

такое, что (например: ).

Тогда ясно, что

, а значит

Так как

– произвольная точка, не принадлежащая множеству , значит

Отсюда получаем, что

, т.е. - пересечение счетного множества открытых множеств.

Утверждение доказано.

Заключение

Основной целью данной работы являлось изучение основных понятий и теорем теории множеств и их применение к выявлению структуры различных числовых множеств. Для достижения этой цели в работе были рассмотрены все исходные понятия и теоремы теории множеств, при этом доказательства наиболее важных теорем и следствий были детально разобраны. Основное внимание было уделено числовым множествам и изучению их структуры, которым была посвящена вся вторая глава.

Важной ю дипломной работы явилось решение ряда интересных задач, которые дают некоторые представление о характере проблем, решаемых в самой теории множеств и ее приложениях.

Теория множеств, хотя и является одной из наиболее молодых отраслей математики, оказала огромное влияние на развитие математики и стала фундаментом целого ряда новых математических дисциплин. Хотелось бы отметить, что некоторые вопросы теории множеств должны быть включены в программы средней школы. Несмотря на высокую степень абстракции, усвоение теории множеств не представляет особых трудностей, так как не требует предварительной подготовки.

Библиография

1. Бурбаки, Н. Теория множеств [Текст] / Н. Бурбаки.– М.: Мир, 1965.– 272 с.: ил.

2. Виленкин, Н.Я. Рассказы о множествах [Текст] / Н.Я. Виленкин.– М.: Наука, 1969.– 160 с.: ил.

3. Кантор, Г. Труды по теории множеств [Текст] / Г. Кантор; Под ред. А.Н. Колмогров, А.П. Юшкевич.– М.: Наука, 1985.– 387 с.

4. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст] / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин.– 7-е изд.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.– 544 с.

5. Мирошниченко, П.Н. Что же разрушал парадокс Рассела в системе Фреге? [Текст] / П.Н. Мирошниченко.– СПб., 2000.– 514 с.

6. Натансон, И.П., Теория функций вещественной переменной [Текст] / И.П. Натансон.–

М.: Гостехиздат, 1974.– 480 с.

7. Столл, Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории [Текст] / Р.Р. Столл.– М.: Просвещение, 1968.– 232 с.

8. Френкель, А. Основание теории множеств [Текст] / А. Френкель, И. Бар-Хиллел – М.: Мир, 1966.– 416 с.

9. Хаусдорф, Ф. Теория множеств [Текст] / Ф. Хаусдорф; под ред. А.Н. Колмогоров, П. С. Александров. – М.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1937. – 287 с.