Структура некоторых числовых множеств (стр. 18 из 22)

Докажем, что каждая точка множества Е (предполагаем, что множество Е непустое) содержится в некотором «правильном» интервале.

Действительно, пусть

. Так как не точка конденсации множества Е, то существует интервал , содержащий эту точку, и такой, что в нем имеется разве лишь счетное множество точек Е.

Если взять такие рациональные числа

и , что , то интервал и будет «правильным» интервалом, содержащим точку х. (Отсюда и вытекает существование «правильных» интервалов).

Перенумеруем все «правильные» интервалы

. Из доказанного выше предложения следует, что

В сумме, стоящей в правой части этого равенства, есть счетное множество слагаемых, каждое из которых, в свою очередь, разве лишь счетно. Отсюда следует, что множество разве лишь счетно.

Теорема доказана.

Следствие 1. Если множество Е несчетно, то существует хоть одна точка конденсации этого множества, принадлежащая ему.

Замечание. Сопоставим это следствие с теоремой Больцано-Вейерштрасса. В то время как теорема Больцано-Вейерштрасса относится ко всякому бесконечному множеству, в данном следствии речь идет только о несчетных множествах. Но здесь, в отличие от теоремы Больцано-Вейерштрасса, нет надобности требовать ограниченности множества Е и, кроме факта существования точек конденсации, можно гарантировать существование таких точек конденсации, которые входят в множество Е

Следствие 2. Пусть Е точечное множество и Р множество всех точек конденсации множества Е. Тогда множество

разве лишь счетно.

Доказательство

Действительно, ни одна точка множества

, не будучи точкой конденсации Е, и подавно не является точкой конденсации самого множества .

Следствие доказано.

Следствие 3. Пусть множество Е несчетно и Р множество всех его точек конденсации. Тогда множество ЕР несчетно.

Замечание. Следствие 3 покрывает собой следствие 1.

Теорема 3. Пусть множество Е несчетно. Тогда множество Р всех точек конденсации множества Е есть множество совершенное.

Доказательство

Докажем сначала замкнутость множества Р.

Пусть

предельная точка этого множества. Возьмем произвольный интервал , содержащий точку . В нем имеется хоть одна точка множества Р. Но тогда интервал , как интервал, содержащий точку конденсации множества Е, содержит несчетное множество точек Е. Так как произвольный интервал, содержащий , то оказывается точкой конденсации Е и, стало быть, принадлежит Р. Итак, множество Р замкнуто.

Остается доказать, что Р не имеет изолированных точек. Пусть

и есть интервал, содержащий точку . Тогда множество несчетно, а значит по следствию 3 (стр. 46) в содержится несчетное множество точек конденсации множества . Но , а потому все точки конденсации множества и подавно являются точками конденсации Е, так что в (а следовательно и в ) содержится несчетное множество точек Р. Итак, любой интервал, содержащий точку , содержит несчетное множество точек Р, откуда следует, что .

Теорема доказана.

Теорема 4. (Г. Кантор – И. Бендиксон). Каждое несчетно замкнутое множество

представимо в форме , где Р – совершенное, а - разве лишь счетное множество точек.

Доказательство

Если Р есть множество точек конденсации множества

, то и разве лишь счетно.

Теорема доказана.

Следствие 1. Несчетное замкнутое множество имеет мощность с

Глава 3. Решение некоторых задач

Задача №1

Если

непрерывная функция, заданная на , то множество точек, в которых , при любом c замкнуто.

Доказательство

Допустим противное.

Пусть

такое, что - незамкнуто. Значит - предельная точка множества и , т.е. .

- непрерывная функция на , значит