Исследование математических операций 2 (стр. 20 из 28)
2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей
и 
, т. е. 
.
3. Вычислим финальные вероятности системы:
4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:
.
5. Относительная пропускная способность поста диагностики:
.
6. Абсолютная пропускная способность поста диагностики
(автомобиля в час)
7. Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):
8. Среднее время пребывания автомобиля в системе:
часа
9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:
часа.
10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):
.
Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15,8% случаев ( Pотк = 0,158).
Перейдем теперь к рассмотрению одноканальной СМО с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания (т. е.
) Остальные условия функционирования СМО остаются без изменений.Стационарный режим функционирования данной СМО существует при
для любого n = 0, 1, 2, ... и когда < . Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при для любого n = 0, 1, 2, ... . имеет вид 
. (4.20)
Решение данной системы уравнений имеет вид
, n = 0, 1, 2, ... (4.21)
где 
.
Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди, следующие:
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:
(4.22)
средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
(4.23)
среднее число клиентов в очереди на обслуживании:
(4.24)
средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:
(4.25)
Пример 4.3. Вспомним о ситуации, рассмотренной в примере 4.2, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена.
Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик:
вероятности состояний системы (поста диагностики);
среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);
среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе (на обслуживании и в очереди);
среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;
среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.
Решение
1. Параметр потока обслуживания
и приведенная интенсивность потока автомобилей 
определены в примере 4.2: =0,952;
=0,893.2. Вычислим предельные вероятности системы по формулам
и т.д.
Следует отметить, что P0(t) определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере она составляет 10,7%, так как P0(t) = 0,107.
3. Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):
ед.
4. Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
час.
5. Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание:
.6. Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди:
час.7. Относительная пропускная способность системы:
q = 1
т. е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена. 8. Абсолютная пропускная способность:
.Следует отметить, что предприятие, осуществляющее диагностику автомобилей, прежде всего интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики при снятии ограничения на длину очереди.
Допустим, в первоначальном варианте количество мест для стоянки прибывающих автомобилей было равно трем (см. пример 4.2). Частота т возникновения ситуаций, когда прибывающий на пост диагностики автомобиль не имеет возможности присоединиться к очереди:
.
В нашем примере при N = 3 + 1 = 4 и
= 0,893 
автомобиля в час
При 12-часовом режиме работы поста диагностики это эквивалентно тому, что пост диагностики в среднем за смену (день) будет терять 12 • 0,134 = 1,6 автомобиля.
Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить количество обслуженных клиентов в нашем примере в среднем на 1,6 автомобиля за смену (12ч. работы) поста диагностики. Ясно, что решение относительно расширения площади для стоянки автомобилей, прибывающих на пост диагностики, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей клиентов при наличии всего трех мест для стоянки этих автомобилей.
Назад | Содержание | Далее
В подавляющем большинстве случаев на практике системы массового обслуживания являются многоканальными, и, следовательно, модели с n обслуживающими каналами (где n > 1) представляют несомненный интерес.
Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока
, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 
. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования n параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышении (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно n клиентов.Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с отказами имеет вид, показанный на рис. 4.3.
Рис. 4.3. Граф состояний многоканальной СМО с отказами
Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:
S0 - все каналы свободны;
S1 - занят один канал, остальные свободны;
…………………………………………………….
Sk - заняты ровно k каналов, остальные свободны;
…………………………………………………….
Sn - заняты все n каналов, остальные свободны;
Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы P0 , ... ,Pk, ... Pn будет иметь следующий вид: