Исследование математических операций 2 (стр. 5 из 28)

,

. (2.9)

Ограничение по заданному количеству продукции выглядит следующим образом:

,

. (2.10)

Задача решается на минимум затрат на производство:

. (2.11)

Необходимо также учесть неотрицательность переменных

.

Задача поставлена так, чтобы израсходовать все отведенное время работы машины, т.е. обеспечить полную загрузку машины. При этом количество выпускаемой продукции каждого вида должно быть по крайней мере не менее N_j . Однако в некоторых случаях не допускается превышение плана по номенклатуре, тогда ограничения математической модели изменяются следующим образом:

,

(2.12)

,

(2.10)

(2.11)

, (2.12)

Пример 2.4. Минимизация дисбаланса на линии сборки.

Промышленная фирма производит изделие, представляющее собой сборку из m различных узлов. Эти узлы изготавливаются на n заводах.

Из-за различий в составе технологического оборудования производительность заводов по выпуску j-го узла неодинакова и равна b_ij . Каждый i-й завод располагает максимальным суммарным ресурсом времени в течение недели для производства m узлов, равного величине T_i .

Задача состоит в максимизации выпуска изделий, что по существу эквивалентно минимизации дисбаланса, возникающего вследствие некомплектности поставки по одному или по нескольким видам узлов.

В данной задаче требуется определить еженедельные затраты времени (в часах) на производство j-го узла на i-м заводе, не превышающие в сумме временные ресурсы 1-го завода и обеспечивающие максимальный выпуск изделий.

Пусть x_ij - недельный фонд времени (в часах), выделяемый на заводе для производства узла j. Тогда объемы производства узла j будут следующими:

,

. (2.15)

Так как в конечной сборке каждый из комплектующих узлов представлен в одном экземпляре, количество конечных изделии должно быть равно количеству комплектующих узлов, объем производства которых минимален:

(2.16)

Условие рассматриваемой задачи устанавливает ограничение на фонд времени, которым располагает завод i .

Таким образом, математическая модель может быть представлена в следующем виде.

Максимизируем

(2.17)

,

(2.18)

для всех i и j.

Эта модель не является линейной, но ее можно привести к линейной форме с помощью простого преобразования. Пусть Y - количество изделий:

(2.19)

Этому выражению с математической точки зрения эквивалентна следующая формулировка: максимизировать Z = Y при ограничениях

,

(2.20)

,

(2.21)

для всех i и j;

.

Пример 2.5. Задача составления кормовой смеси, или задача диете..

Пусть крупная фирма (условно назовем ее «Суперрацион») имеет возможность покупать m различных видов сырья и приготавливать различные виды смесей (продуктов). Каждый вид сырья содержит разное количество питательных компонентов (ингредиентов). Лабораторией фирмы установлено, что продукция должна удовлетворять по крайней мере некоторым минимальным требованиям с точки зрения питательности (полезности). Перед руководством ширмы стоит задана определить количество каждого i-го сырья, образующего смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу смеси и ее питательности.

Решение

Введем условные обозначения:

x_i - количество i-го сырья в смеси;

m - количество видов сырья;

n - количество ингредиентов в сырье;

a_ij - количество ингредиента j, содержащегося в единице i-го вида сырья;

b_j - минимальное количество ингредиента j, содержащегося в единице смеси;

c_i - стоимость единицы сырья i;

q - минимальный общий вес смеси, используемый фирмой,

Задача может быть представлена в виде

(2.22)

при следующих ограничениях:

на общий расход смеси:

; (2.23)

на питательность смеси:

,

(2.24)

на неотрицательность переменных:

,

(2.25)

Пример 2.6. Задача составления жидких смесей.

Еще один класс моделей, аналогичных рассмотренным выше, возникает при решении экономической проблемы, связанной с изготовлением смесей различных жидкостей с целью получения пользующихся спросом готовых продуктов.

Представим себе фирму, торгующую различного рода химическими продуктами, каждый из которых является смесью нескольких компонентов. Предположим, что эта фирма планирует изготовление смесей m-видов. Обозначим подлежащее определению количество литров i-го химического компонента, используемого для получения j-го продукта через x_ij . Будем предполагать, что

, , .

Первая группа ограничений относится к объемам потребляемых химических компонентов:

,

(2.26)

где S_i - объем i-го химического компонента, которым располагает фирма в начале планируемого периода.

Вторая группа ограничений отражает требование, заключающееся в том, чтобы запланированный выпуск продукции хотя бы в минимальной степени удовлетворял имеющийся спрос на каждый из химических продуктов, т.е.

,

(2.27)

где D_i - минимальный спрос на продукцию у в течение планируемого периода.

Третья группа ограничений связана с технологическими особенностями, которые необходимо принимать во внимание при приготовлении смеси например, простое ограничение, определяемое некоторыми минимально допустимыми значениями, отношения между объемами двух химических компонентов в процессе получения продукта j:

или

,

где r - некоторая заданная константа.

Обозначив через Р_ij доход с единицы продукции х_ij запишем целевую функцию:

. (2.28)

Пример 2.7. Задача о раскрое или о минимизации обрезков.

Данная задача состоит В разработке таких технологических планов раскроя, при которых получается необходимый комплекс заготовок, а отходы (по длине, площади, объему, массе или стоимости) сводятся к минимуму.