Исследование математических операций 2 (стр. 7 из 28)

Рис. 2.3. Оптимум функции Z недостижим

Рис. 2.4. Область допустимых решений – пустая область

Для практического решения задачи линейного программирования (2.34) – (2.36) на основе ее геометрической интерпретации необходимо следующее:

1. Построить прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях (2.35) – (2.36) знаков неравенств на знаки равенств.

2. Найти полуплоскости, определяемые каждым из ограничений.

3. Определить многоугольник решений.

4. Построить вектор

.

5. Построить прямую

, проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору

.

6. Передвигать прямую Z в направлении вектора

, в результате чего либо находят точку (точки), в которой функция принимает максимальное значение, либо устанавливают неограниченность функции сверху на множестве планов.

7. Определить точки координаты максимума функции и вычислить значение целевой функции в этой точке.

Пример 2.9. Рассмотрим решение задачи об ассортименте продукции (пример 2.2) геометрическим способом.

Решение

Построим многоугольник решений (рис.2.5). Для этого в системе координат X₁0X₂ на плоскости изобразим граничные прямые:

2х₁ + 3х₂ = 9 (L₁);

3х₁ + 2х₂ = 13 (L₂);

х₁ - х₂ = 1 (L₃);

х₂ = 2 (L₄).

Взяв какую-либо точку, например, начало координат, установим, какую полуплоскость определяет соответствующее неравенство. Полуплоскости, определяемые неравенствами, на рис. Показаны стрелками. Областью решений является многоугольник OABCD.

Для построения прямой Z = 3х₁ + 4х₂ = 0 строим вектор-градиент

и через точку 0 проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z = 0 перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора

. Из рис. следует, что по отношению к многоугольнику решений опорной эта прямая становится в точке C, где функция принимает максимальное значение. Точка С лежит на пересечении прямых L₁ и L₃. Для определения ее координат решим систему уравнений:

Оптимальный план задачи х₁=2,4; х₂=1,4. Подставляя значения х₁ и х₂ в линейную функцию, получим:

.

Полученное решение означает, что объем производства продукции П₁ должен быть равен 2,4 ед., а продукции П₂ – 1,4 ед. Доход, получаемый в этом случае, составит: Z = 12,8 д.е.

Рис. 2.5. Решение задачи линейного программирования геометрическим способом

Назад | Содержание | Далее

2.4. Анализ моделей на чувствительность

Анализ моделей на чувствительность — это процесс, реализуемый после получения оптимального решения. В рамках такого анализа выявляется чувствительность оптимального решения к определенным изменениям исходной модели. В задаче об ассортименте продукции (пример 2.2) может представлять интерес вопрос о том, как повлияет на оптимальное решение увеличение и уменьшение спроса на продукцию или запасов исходного сырья. Возможно, также потребуется анализ влияния рыночных цен на оптимальное решение.

При таком анализе всегда рассматривается комплекс линейных оптимизационных моделей. Это придает модели определенную динамичность, позволяющую исследователю проанализировать влияние возможных изменений исходных условий на полученное ранее оптимальное решение. Динамические характеристики моделей фактически отображают аналогичные характеристики, свойственные реальным процессам. Отсутствие методов, позволяющих выявлять влияние возможных изменений параметров модели на оптимальное решение, может привести к тому, что полученное (статическое) решение устареет еще до своей реализации. Для проведения анализа модели на чувствительность с успехом могут быть использованы графические методы.

Рассмотрим основные задачи анализа на чувствительность на примере 2.9.

Задача 1. Анализ изменений запасов ресурсов.

После нахождения оптимального решения представляется вполне логичным выяснить, как отразится на оптимальном решении изменение запасов ресурсов. Для этого необходимо ответить на два вопроса:

1. На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для улучшения полученного оптимального значения целевой функции Z?

2. На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении полученного оптимального значения целевой функции Z?

Прежде чем ответить на поставленные вопросы, классифицируем ограничение линейной модели как связывающие (активные) и несвязывающие (неактивные) ограничения. Прямая, представляющая связывающее ограничение, должна проходить через оптимальную точку, в противном случае, соответствующее ограничение будет несвязываюшим. На рис. 2.5 связывающими ограничениями являются ограничения (1) и (3), представленные прямыми L₁ и L₃ соответственно, т.е. те, которые определяют запасы исходных ресурсов. Ограничение (1) определяет запасы сырья А. Ограничение (3) определяет соотношение спроса на выпускаемую продукцию.

Если некоторое ограничение является связывающим, то соответствующий ресурс относят к разряду дефицитных ресурсов, так как он используется полностью. Ресурс, с которым ассоциировано несвязывающее ограничение, следует отнести к разряду недефицитных ресурсов (т.е. имеющихся в некотором избытке). В нашем примере несвязывающими ограничениями являются (2) и (4). Следовательно, ресурс - сырье В - недефицитный, т.е. имеется в избытке, а спрос на продукцию П₂ не будет удовлетворен полностью (в таблице - ресурсы 2 и 4).

При анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений определяются: 1) предельна допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение, и 2) предельно допустимое снижение запаса недефицитного ресурса, не изменяющее найденное ранее оптимальное значение целевой функции.

В нашем примере сырье А и соотношение спроса на выпускаемую продукцию П₁ и П₂ являются дефицитными ресурсами (в таблице - ресурсы 1, 3).

Рассмотрим сначала ресурс - сырье А. На рис. 2.6 при увеличении запаса этого ресурса прямая L₁ перемещается вверх, параллельно самой себе, до точки К, в которой пересекаются линии ограничений L₂, L₃ и L₄. В точке К ограничения (2), (3) и (4) становятся связывающими; оптимальному решению при этом соответствует точка К, а пространством (допустимых) решений становится многоугольник AKD0. В точке К ограничение (1) (для ресурса А) становится избыточным, так как любой дальнейший рост запаса соответствующего ресурса не влияет ни на пространство решений, ни на оптимальное решение.

Рис. 2.6. Геометрическая интерпретация решения задачи линейного программирования (изменение ресурса А)

Таким образом, объем ресурса А не следует увеличивать сверх того предела, когда соответствующее ему ограничение (1) становится избыточным, т.е. прямая (1) проходит через новую оптимальную точку К. Этот предельный уровень определяется следующим образом. Устанавливаются координаты точки К, в которой пересекаются прямые L₂, L₃ и L₄, т.е. находится решение системы уравнений

.

В результате получается х₁ = 3 и х₂ = 1. Затем, путем подстановки координат точки К в левую часть ограничения (1), определяется максимально допустимый запас ресурса А:

.

Рис. 2.7иллюстрирует ситуацию, когда рассматривается вопрос об изменении соотношения спроса на продукцию П₁ и П₂.

Рис. 2.7. Геометрическая интерпретация решения задачи линейного программирования (изменение спроса на продукцию)

Новой оптимальной точкой становится точка Е, где пересекаются прямые L₁ и L₂. Координаты данной точки находятся путем решения системы уравнений (1) и (2) следующим образом:

.

В результате получается х₁ = 4,2; х₂ = 0,2, причем суточный спрос на продукцию П₁ не должен превышать спрос на продукцию П₂ на величину х₁ - х₂ = 4,2 -0,2= 4 ед.

Дальнейшее увеличение разрыва в спросе на продукцию П₁ и П₂ не будет влиять на оптимальное решение.

Рассмотрим вопрос об уменьшении правой части несвязывающих ограничений. Ограничение (4) фиксирует предельный уровень спроса на продукцию П₂ . Из рис. 2.5 следует, что, не изменяя оптимального решения, прямую L₄ (АВ) можно опускать вниз до пересечения с оптимальной точкой С. Так как точка С имеет координаты х₁ = 4,2; х₂ =1,4 уменьшение спроса на продукцию П₂ до величины х₂ =1,4 никак не повлияет на оптимальность ранее полученного решения.