Исследование математических операций 2 (стр. 24 из 28)
Назад | Содержание | Далее
5.2. Моделирование случайных событий с заданным законом распределения
5.2.1. Разыгрывание дискретной случайной величины
Пусть требуется разыграть дискретную случайную величину, т.е. получить последовательность ее возможных значений xi (i = 1,2,3,...n), зная закон распределения X:
Обозначим через R непрерывную случайную величину. Величина R распределена равномерно в интервале (0,1). Через rj (j = 1,2,...) обозначим возможные значения случайной величины R. Разобьем интервал 0 < R < 1 на оси 0r точками с координатами
на n частичных интервалов 
.Тогда получим:
Длина 
Длина 
.......................................................
Длина 
Видно, что длина частичного интервала с индексом i равна вероятности Р с тем же индексом. Длина 
Таким образом, при попадании случайного числа ri в интервал 
случайная величина Х принимает значение xi с вероятностью Pi.
Существует следующая теорема:
Если каждому случайному числу 
, которое попало в интервал , поставить в соответствие возможное значение xi, то разыгрываемая величина будет иметь заданный закон распределения
Алгоритм разыгрывания дискретной случайной величины заданной законом распределения
1. Нужно разбить интервал (0,1) оси 0r на n частичных интервалов:
2. Выбрать (например, из таблицы случайных чисел, или в компьютере) случайное число rj.
Если rj попало в интервал , то разыгрываемая дискретная случайная величина приняла возможное значение xi.
Пример 5.1.
Разыграть 8 значений дискретной случайной величины Х, закон распределения которой задан в виде таблицы:
Решение
1. Разобьем интервал (0,1) оси Оr точками с координатами 0,25; 0,25+0,16=0,41 на три частичных интервала;
2. Выпишем из таблицы случайных чисел 9 чисел, например 0,10; 0,37; 0,08; 0,99; 0,12; 0,66; 0,31; 0,85.
3. Случайное число r1 = 0,10 принадлежит первому частичному интервалу, поэтому разыгрываемая случайная величина приняла возможное значение x1 = 3. Случайное число r2= 0,37 принадлежит второму частичному интервалу, поэтому разыгрываемая величина приняла возможное значение x2 = 11. Аналогично получим остальные возможные значения дискретной случайной величины Х.
Итак: разыгранные возможные значения Х таковы: 3; 11; 3; 24; 3; 24; 11; 24.
Как видим, можно получить множество значений случайной величины Х с заданным законом распределения.
Назад | Содержание | Далее
5.2.2. Разыгрывание непрерывной случайной величины
Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину Х, т.е. получить последовательность ее возможных значений xi (i = 1,2,...). При этом функция распределения F(X) известна.
Существует следующая теорема.
Если ri - случайное число, то возможное значение xi разыгрываемой непрерывной случайной величины Х с известной функцией распределения F(X) соответствующее ri , является корнем уравнения
Алгоритм разыгрывания непрерывной случайной величины:
1. Необходимо выбрать случайное число ri.
2. Приравнять выбранное случайное число известной функции распределения F(X) и получить уравнение
.3. Решить данное уравнение относительно xi. Полученное значение xi будет соответствовать одновременно и случайному числу ri. и заданному закону распределения F(X).
Пример5.2.
Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (2; 10).
Решение
Функция распределения величины Х имеет следующий вид:
По условию, a = 2, b = 10, следовательно,
В соответствии с алгоритмом разыгрывания непрерывной случайной величины приравняем F(X) выбранному случайному числу ri.. Получим отсюда:
(5.3)Далее в соответствии с алгоритмом выберем три случайных числа, распределенных равномерно в интервале (0; 1). Например r1 = 0,11; r2 = 0,17; r3 = 0,66.
Подставим эти числа в уравнение (5.3).Получим соответствующие возможные значения х :
Пример 5.3
Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с известной функцией
( x>0, параметр
> 0 известен)Требуется найти формулу для разыгрывания возможных значений Х.
Решение
В соответствии с алгоритмом разыгрывания непрерывной случайной величины получим уравнение
Решим это уравнение относительно xi. Получим:
Случайное число ri находится в интервале (0, 1). Следовательно число (1- ri) также случайное и принадлежит интервалу (0, 1). То есть случайные величины R и 1 - R распределены одинаково, т.е. равномерно в одном и том же интервале (0, 1). Поэтому для отыскания значения xiможно воспользоваться более простой формулой:
Назад | Содержание | Далее
5.2.3. Разыгрывание случайной величины X, распределенной нормально
Известно, что если случайная величина R распределена равномерно в интервале (0, 1), то ее математическое ожидание М(R) = 1/2, а дисперсия D(R) = 1/12.
Составим сумму n независимых случайных величин Rj (j = 1,2,...n), которые распределены равномерно в интервале (0, 1). Получим 
.
Пронормируем эту сумму. Для этого найдем сначала ее математическое ожидание и дисперсию. Известно, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма Ri содержит n слагаемых. Математическое ожидание каждого слагаемого равна 1/2. Следовательно математическое ожидание суммы равно:
;
Аналогично для дисперсии суммы Rj получим:
Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы Rj:
Теперь пронормируем сумму Rj.
Для этого вычтем из суммы Rj математическое ожидание этой суммы и разделим на среднее квадратическое отклонение суммы Rj. Получим
(то есть 
)
На основании центральной предельной теоремы теории вероятностей при
распределение этой нормированной случайной величины стремится к нормальному закону с параметрами a = 0 и 
= 1.При конечном n распределение можно рассматривать как приближенно нормальное. Например, при n = 12 получим достаточно точное для практики приближение
Таким образом, получаем, что для того чтобы разыграть возможное значение xi нормальной случайной величины Х с параметрами a = 0 и = 1, нужно сложить 12 независимых случайных чисел и из полученной суммы вычесть 6.