Случайные события (стр. 12 из 20)
. (18.14)
Это соотношение полностью аналогично формуле сложения безусловных вероятностей.
Основные формулы комбинаторики
Имеется большое число задач, в которых вычисление вероятностей выполняется с помощью комбинаторных формул. Рассмотрим основные комбинаторные формулы.
19.1. Перестановки. Пусть имеется 
различных объектов 
. Эти объекты перенумерованы, и следовательно, образуют последовательность (или упорядоченное множество). Поменяем местами два объекта 
и 
. Тогда получим новую последовательность 
. Затем можно в исходной последовательности на первое место поставить 
, а объект 
соответственно на третье и т.д., получая каждый раз новую последовательность из объектов. Разные последовательности отличаются только порядком следования объектов, поэтому в общем случае последовательность, полученная при перестановке объектов, имеет вид: 
.
Возникает вопрос, чему равно число разных последовательностей 
? (Или просто чему равно число перестановок?) Ответ может быть получен путем следующих рассуждений. Объект 
можно выбрать способами, то есть в качестве 
можно взять любой объект среди 
. Если 
выбран, то 
можно выбрать 
способом, поскольку в исходной последовательности осталось объектов, каждый из которых может быть выбран в качестве второго объекта 
новой последовательности и т.д. Всего, таким образом, существует 
способов образовать последовательность , выбирая объекты из совокупности 
. Число 
называется числом перестановок разных объектов.
19.2. Размещения. Усложним условие задачи. Пусть имеется различных объектов . Чему равно число разных последовательностей вида 
, 
, полученных при извлечении 
объектов из исходной последовательности 
разных объектов?
Аналогично как и в первой задаче, в данном случае объект можно выбрать способами. Если выбран, то объект 
можно выбрать способом и т.д. Наконец, объект 
можно выбрать 
способом. Таким образом, всего существует
(19.1)
способов образовать последовательность из объектов, выбирая объекты из совокупности . Иначе эту задачу можно сформулировать следующим образом: сколько существует способов размещения из различных объектов по местам. Число 
(19.1) называется числом размещений из по 
. Отметим, что при 
из (19.1) следует 
.
19.3. Сочетания. Пусть имеется различных объектов 
, из которых выбирается объектов 
, образующих множество 
. Сколькими способами можно образовать множество ?
В отличие от размещений результатом извлечений объектов из совокупности является не последовательность, а множество 
. В последовательности важен порядок расположения элементов, так две последовательности 
и 
— разные, они различаются расположением элементов и . Если рассматривать два множества 
и 
, то эти множества одинаковые: 
, поскольку порядок расположения элементов 
на множестве не имеет значения. Важен только вопрос: содержится элемент в данном множестве или нет? Таким образом, данная задача отличается от задачи на число размещений тем, что извлекаемые объектов образуют множество , на котором не важен порядок расположения объектов, а важен только факт наличия или отсутствия элемента 
в множестве 
.
Сочетанием из 
элементов по называется любое подмножество из элементов множества, содержащего элементов. Число всех сочетаний обозначается записью 
. Наша задача сводится к нахождению числа 
. Если, извлекая объекты из совокупности , строить из них последовательность 
, то есть учитывая расположение объектов, то число разных последовательностей равно числу - размещений из 
по 
. В данной задаче интерес представляет множество 
, для которого разный порядок расположения заданных элементов 
дает одно и то же множество. Число перестановок разных элементов равно 
. Поэтому число размещений в 
больше числа сочетаний 
. Из (19.1) следует