Случайные события (стр. 4 из 20)
Говорят, что алгебра событий – это система событий, замкнутая относительно операций дополнения, пересечения и объединения.
Основная терминология в алгебре событий
Событие 
называется невозможным, если 
. Для обозначения невозможного события будем использовать символ Æ.
Событие называется достоверным, если 
. Обозначается достоверное событие символом 
. Очевидно Æ 
=Æ, 
.
События и 
называются противоположными. Имеют место равенства 
, 
, 
.
События и 
называются несовместными, если 
. Поскольку 
, то события и 
– несовместные.
События 
образуют полную группу, если
. (5.1)
Это означает, что в результате опыта появится хотя бы одно из событий, образующих полную группу.
События и 
называются независимыми, если 
не зависит от того произошло событие или нет, и наоборот, 
не зависит от того произошло или нет событие .
Если событие происходит всякий раз, когда происходит событие , то 
называется следствием события , это записывается в виде соотношения
или 
, (5.2)
что читается как "из следует " и " есть следствие ". Отношению следствия можно дать геометрическую интерпретацию, рис. 5.1.
Рис. 5.1. Событие и его следствие .
Если 
и 
, то события и называются эквивалентными, это записывается в виде 
.
Событие 
, состоящее в том, что событие произошло, а событие 
не произошло, называется разностью событий и и обозначается
. (5.3)
Из определения следует 
, таким образом,
. (5.4)
Если в первом равенстве (5.4) положить 
, то 
.
Геометрическая интерпретация разности двух событий и представлена на рис. 5.2.
Рис. 5.2. События , и их разность .
Принцип двойственности для событий
В теории вероятностей и ее приложениях важную роль играет так называемый принцип двойственности, который может быть выражен соотношениями:
, (6.1)
. (6.2)
Из равенства (6.1) следует (6.2) и наоборот. Например, выполним замену в (6.1) 
, 
, тогда (6.1) 
или 
, что совпадает с (6.2).
Возьмем в (6.1) дополнение в обеих частях и поменяем местами правую и левую части, тогда
, (6.3)
теперь из (6.1) можно получить (6.3), если события 
и 
заменить на противоположные и 
, объединение на пересечение и наоборот – пересечение на объединение. Таким образом, для всякого утверждения, относящегося к некоторой системе событий, может быть сформулировано эквивалентное ему двойственное утверждение путем указанной замены событий и операций над событиями.
К принципу двойственности следует отнести еще одно соотношение:
, (6.4)
геометрическая интерпретация которого очевидна и представлена на рис. 6.1, где отмечено горизонтальной штриховкой и – вертикальной штриховкой.
Рис. 6.1. События , и их дополнения.
Рассмотрим геометрическое доказательство соотношения (6.1). Его левую часть можно представить областью с горизонтальной штриховкой, рис.6.2. Аналогично на рис. 6.3 выделены события: – горизонтальной