Случайные события (стр. 14 из 20)

20.2. Систем Бозе-Эйнштейна. Определяется как система

неразличимых (тождественных, одинаковых) частиц, каждая из которых независимо от остальных может находиться в одной из

ячеек (состояний частицы). Поскольку частицы неразличимы, каждое состояние такой системы задается "числами заполнения"

, где

— число частиц в

ячейке. Подсчитаем число разных состояний системы, то есть число размещений частиц, различающихся лишь числами заполнения.

20.2.1. Состояние системы удобно представить рис.20.1, где черточкой изображается граница ячейки, а точкой — частица.

Рис. 20.1. Состояние системы частиц.

Конфигурация (состояние) из

точек и

границы полностью определяется положениями внутренних

черточек. Две крайние черточки закреплены и перемещаться не могут. Отметим, что если поменять местами любые две или несколько частиц, то конфигурация (состояние) не изменится ввиду неразличимости частиц. Точно также конфигурация не изменится, если поменять местами две внутренние черточки. Однако каждый раз, когда меняются местами частица и черточка будет получено новое состояние системы. Число черточек и частиц равно

, а общее число перестановок черточек и частиц равно

. Из них существует

перестановок черточек межу собой, которые не приводят к новому состоянию, а также существует

перестановок частиц между собой, не приводящие к новым состояниям. Поэтому число разных состояний системы равно:

. (20.1)

Это число в комбинаторике называют числом сочетаний с повторениями из

по

. Если все состояния системы равновероятны, то говорят, что система частиц подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна. При этом вероятность каждого состояния равна

. (20.2)

20.2.2. Если число частиц

— не меньше числа ячеек, то можно дополнительно потребовать, чтобы в каждом состоянии ни одна ячейка не оставалась пустой. При этом число возможных состояний уменьшится по сравнению с (20.1). Определим это число. Для этого "приклеим" к каждой из

черточек справа по одной точке, исключив последнюю

-ю (правую) черточку. Теперь, переставляя границу ячейки в виде "черточка + частица", будем получать состояния, когда в каждой ячейке будет не менее одной частицы. Всего имеется, как и в первом случае,

границ, которые можно переставлять, а также

— число границ плюс свободных частиц, поскольку

частиц "приклеены". Общее число перестановок границ и свободных частиц равно

. Среди них

перестановок между собой границ, которые не приводят к новым состояниям, а также

перестановок между собой свободных частиц, которые также не дают новых состояний. Поэтому число разных состояний системы равно

,

. (20.3)

20.3. Система Ферми-Дирака. Определяется как система Бозе-Эйнштейна, в которой дополнительно действует принцип запрета (принцип Паули), требующий, чтобы в каждой ячейке находилось не более одной частицы. Частицы и в этом случае неразличимы, поэтому состояние системы характеризуется числами заполнения

для

. Очевидно, в данном случае число частиц

— числа ячеек (состояний частицы). Состояние системы можно задать, выбирая

заполненных ячеек из общего числа

ячеек. Число разных способов выбора равно

. Если все состояния равновероятны, то говорят о статистике Ферми-Дирака. При этом вероятность каждого состояния равна

. (20.4)

Статистике Максвелла-Больцмана подчинены системы молекул газа в классической статистической физике. Системы частиц с целым и полуцелым спином подчиняются соответственно статистикам Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака.

Последовательность независимых испытаний

21.1. Пусть эксперимент

может быть повторен

раз. Тогда говорят о последовательности (или серии) испытаний (опытов, экспериментов). Пусть последовательность опытов характеризуется тем, что результат любого опыта не зависит от результатов остальных опытов данной последовательности. Тогда говорят о последовательности независимых испытаний. Пусть опыт

имеет два исхода - событие

или

. Тогда последовательность независимых испытаний называется вероятностной схемой Бернулли. Обычно исход

условно называют успехом, а исход

- неудачей. Обозначим вероятность успеха

и вероятность неудачи

. Очевидно

.

В качестве примеров схемы Бернулли можно привести опыт с бросанием монеты или игральной кости. В первом примере успех

- это выпадение герба и неуспех

- выпадение решетки, при этом

. Во втором примере в качестве успеха

можно рассматривать выпадение грани с номером 1, тогда

- невыпадение номера 1, при этом

и

.

Определим в схеме Бернулли вероятность

того, что в серии из

испытаний успех наступит

раз. Очевидно

. Рассмотрим последовательность

опытов и будем фиксировать результат каждого опыта, то есть событие

или

. Тогда последовательность исходов может иметь, например, вид