Случайные события (стр. 6 из 20)

. (9.1)

Из соотношений (8.3), (8.4), (9.1) следует:

(9.2)

- формула умножения частот.

Эту формулу можно получить в другом виде. Аналогично (9.1)

, (9.3)

поскольку событие

и появляется

раз в последовательности из

опытов, при этом событие

происходит

раз. Из соотношений (9.3) и (8.3), (8.5) следует:

(9.4)

- второй вариант формулы умножения частот.

Поэтому в аксиомах теории вероятностей должна быть определена, или получена как следствие аксиом, формула умножения вероятностей:

. (9.5)

Если события

и

независимые, то условные вероятности равны безусловным:

, тогда (9.5) принимает вид:

. (9.6)

Обобщение формулы сложения вероятностей

Равенство (8.9) несложно обобщить на случай произвольного конечного числа событий. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий

равна

. (10.1)

Здесь, например

, означает тройную сумму по индексам

,

и

, которые пробегают значения

и удовлетворяют условию

. Это условие приводит к уменьшению числа слагаемых тройной суммы по сравнению с числом

слагаемых в тройной сумме без ограничений на индексы суммирования. Последнее слагаемое (10.1) можно также рассматривать как

- кратную сумму по индексам

при условии на индексы:

, что и приводит к вырождению

- кратной суммы до одного слагаемого (10.1).

Пусть события

являются несовместными, тогда из (10.1) следует

(10.2)

- вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Обобщение формулы умножения вероятностей

Формула (9.5) умножения вероятностей обобщается на случай произвольного конечного числа событий. Вероятность того, что произойдет каждое из событий

равна

. (11.1)

Рассмотрим важный частный случай формулы (11.1) для событий независимых в совокупности.

Определение. События

называются независимыми в совокупности, если события

и

- независимые при любом выборе событий

из данной совокупности и любом

.

Для независимых

и

условные вероятности

и формула (11.1) принимает вид

. (11.2)

Отметим, что из независимости событий в совокупности следует их парная независимость. Но обратное утверждение неверно. Рассмотрим этот факт на примере Бернштейна. Пусть три грани правильного тетраэдра окрашены соответственно в красный (

), зеленый (

) и синий (

) цвета, а четвертая - в три цвета (

). Вероятность упасть тетраэдру гранью, на который есть, например, красный цвет, равна

. Условная вероятность оказаться на этой грани красному цвету при условии, что на ней есть уже зеленый равна

. Таким образом, события

и

независимы. Аналогично, рассматривая любую пару событий, несложно определить, что события

,

и С попарно независимы. Однако вероятность упасть гранью, на которой есть все три цвета равна

. Отсюда следует, что события

,

и С не являются независимыми в совокупности.

Рассмотрим примеры решения задач с использованием формул сложения и умножения вероятностей.

Определить вероятность разрыва цепочки из

параллельно соединенных элементов, если вероятность разрыва в каждом элементе одинакова и равна

. Разрыв цепочки из

параллельных элементов означает наступление каждого из независимых в совокупности событий

,

,

- разрыв

-го элемента. Таким образом, необходимо определить

. Согласно формуле (11.2)