Случайные события (стр. 3 из 20)

2. Объединением (или суммой) двух событий

и

называется третье событие

, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий

или

. Для объединения будем использовать обозначение

или

. (4.1)

Признаком операции объединения двух событий может служить союз "или" между ними. Операции объединения, аналогично дополнению, можно дать геометрическую интерпретацию. Пусть

– событие, состоящее в том, что случайно брошенная на плоскость точка попала в область, обозначенную также

, рис. 4.2. Аналогично событие

– это попадание точки в область

Рис. 4.2. События

,

и их объединение

.

. Тогда событие

– это попадание точки в заштрихованную область, рис. 4.2.

Операция объединения определяется для произвольного числа событий. Например, событие

(4.2)

состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий

,

… . Событие

(4.3)

состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий

…

. Очевидно операция объединения коммутативна по определению:

(4.4)

и ассоциативна, что также следует из определения:

. (4.5)

3. Пересечением (или произведением) двух событий

и

называется третье событие

, состоящее в том, что произошли оба события

и

. Для обозначения операции пересечения будем использовать обозначения

или

. (4.6)

Геометрическая интерпретация операции пересечения представлена на рис. 4.3., где

и

– события и

– их пересечение – заштрихованная область.

Операция пересечения, также как и операция объединения, определяется для произвольного числа событий. Например, событие

(4.7)

состоит в том, что происходят все события

Событие

(4.8)

состоит в том, что происходят все события

. (4.9)

По определению операция пересечения коммутативна, то есть выполняется условие:

, (4.10)

а также ассоциативна:

. (4.11)

Рис. 4.3. События

,

и их пересечение

.

Операции объединения

и пересечения

взаимно дистрибутивны. В частности, операция объединения дистрибутивна относительно пересечения:

. (4.12)

На рис. 4.4,а представлены события

горизонтальной штриховкой и вся левая часть (4.12) – вертикальной штриховкой. Аналогично на рис. 4.4, б представлены: событие

– горизонтальной штриховкой, событие

– вертикальной штриховкой, вся правая часть (4.12) – штриховкой "в клеточку".

а б

Рис. 4.4. Геометрическая иллюстрация дистрибутивности объединения относительно пересечения.

Аналогично (4.12) операция пересечения дистрибутивна относительно

объединения:

. (4.13)

На рис. 4.5, а представлены: событие

– горизонтальной штриховкой и левая часть соотношения (4.13) – штриховкой "в клеточку". На рис. 4.5,б: событие

– горизонтальной штриховкой, событие

– вертикальной штриховкой и вся правая часть (4.13) – это вся заштрихованная область.

а б

Рис. 4.5. Геометрическая иллюстрация дистрибутивности пересечения относительно объединения.

Отметим, что если в (4.13) для операции объединения использовать знак "+", а для пересечения – отсутствие знака, то (4.13) принимает хорошо знакомый вид:

(4.14)

– закона дистрибутивности умножения относительно сложения в алгебре чисел. В отличие от этого закон дистрибутивности (4.12) сложения относительно умножения не имеет аналога в алгебре чисел.

4. Рассмотренные операции над событиями носят алгебраический характер. Поэтому в теории вероятностей важное значение имеет алгебра событий, которая определяется следующим образом.

Система событий

называется алгеброй событий, если для любой пары событий

и

из условий

(4.15)

следует, что события

,

,

,

содержатся в

.