Случайные события (стр. 19 из 20)

Введем обозначения:

,

(27.5)

Из (22.7) при

следует, что наивероятнейшее число

, поэтому числитель величины

- это уклонение числа успехов

от наивероятнейшего числа

.

Из (27.5) и условий (27.1) следует

, (27.6)

а также

. (27.7)

Условия (27.6) и (27.7) приводят к ограничению на скорость роста второго слагаемого

в выражениях (27.6), (27.7), а именно при большом

,

, (27.8)

то есть величина

пропорциональна

, где число

. Скорость ростане может быть большей, то есть параметр

, характеризующий скорость роста не может принимать значения

. В противном случае нарушаются условия (27.6), (27.7). действительно, при

величина

растет с увеличением

быстрее, чем первое слагаемое в (27.6) и в (27.7), при этом условие (27.6) выполняется:

, а условие (27.7) нарушается, поскольку число

становится отрицательным с ростом

.

Рассмотрим в (27.4) выражение под корнем, в котором числа

,

представим в виде (27.6), (27.7), тогда

(27.9)

При большом

вторые слагаемые в скобках (27.9) является малыми по сравнению с первыми, поскольку выполняется условие (27.8). Поэтому при

из (27.9) следует

. (27.10)

Рассмотрим два последних множителя выражения (27.4), причем удобно рассматривать его логарифм:

. (27.11)

Подставим сюда выражения для

и

(27.6) и (27.7). Тогда

. (27.12)

При малом

справедливо разложение в ряд:

, (27.13)

где

- величина, малая по сравнению с

. Используем разложение с точностью до

в соотношении (27.12). Тогда

.

(27.14)

Введем для краткости обозначение

, тогда правая часть (27.14) преобразуется следующим образом:

. (27.15)

Здесь второе слагаемое зависит от

через

. Согласно (27.8)

,

, поэтому

. (27.16)

При

и

выражение

, поэтому второе слагаемое в (27.15) является малой величиной по сравнению с первым, которое равно

. Таким образом, (27.14) при

имеет вид

. (27.17)

Полученные результаты (27.10) и (27.17) подставим в (27.4), тогда

,

,

. (27.18)

Формула (27.18) называется локальной асимптотикой Муавра-Лапласа. Этот же результат может быть сформулирован как следующая локальная теорема Муавра-Лапласа.

Если вероятность успеха

в одном опыте удовлетворяет условию

, тогда вероятность

того, что в последовательности

независимых испытаний успех наступит

раз удовлетворяет условию:

. (27.19)

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Вероятность

того, что в последовательности

независимых испытаний число

успехов находится в интервале

определяется выражением

. (28.1)

Получим асимптотику выражения (28.1) при тех же условиях, которые были определены для локальной теоремы Муавра-Лапласа. При этом

определяется формулой (27.18). Подставим (27.18) в (28.1), тогда

(28.2)

где

. (28.3)

Поскольку

, то

при

. Пусть

,

. (28.4)

Тогда при

сумма в выражении (28.2) переходит в интеграл:

. (28.5)

Этот результат носит название интегральная теорема Муавра-Лапласа. Соотношение (28.5) можно представить через функцию Лапласа:

. (28.6)

Практическое применение интегральной теоремы основано на приближенном равенстве: