Лекции по физике (стр. 13 из 42)

когда речь идет о плоских волнах, распространяющихся вдоль оси x.

Это уравнение, однако, математически описывает звуковую волну только в покоящемся воздухе. Если мы хотим описать звуковую волну в движущемся воздухе (движущемся равномерно прямолинейно со скоростью v вдоль оси x в отрицательном направлении оси x в лабораторной системе отсчета), то мы должны использовать не приведенное волновое уравнение, а только что выведенное более сложное уравнение

Таким образом, волновое уравнение для звука в движущейся среде отличается по виду от волнового уравнения для звука в покоящейся среде. И нет ничего удивительного в том, что волновое уравнение не инвариантно относительно преобразований Галилея. Мы неявно предположили, что исходная система K - это система отсчета, в которой среда (воздух) покоится.

Поясним сказанное подробнее. Пусть у нас имеется тело, движущееся со скоростью v вдоль оси x и пусть в этом теле распространяется волна в положительном или отрицательном направлении оси x.

Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси x. Относительно взятой системы отсчета она имеет скорость c_дв = c + v. Таким образом, если форма волны в нулевой момент времени дается функцией f(x), которая может быть взята произвольной, то в момент времени t она будет описываться функцией

Найдем вид уравнения, которому удовлетворяет эта функция. Очевидно

Поэтому функция u удовлетворяет следующему уравнению

которое можно представить в виде

Подействуем на это уравнение справа и слева дифференциальным оператором

и получим уравнение

Следовательно, раскрывая скобки, имеем уравнение

члены со смешанной производной, пропорциональные c, взаимно сокращаются. Разделив на c², окончательно приходим к уравнению

которое в точности совпадет с уравнением, полученным выше.

Рассмотрим теперь волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси x. Относительно нашей системы отсчета волна будет двигаться со скоростью c_дв = c - v.

Если форма волны в нулевой момент времени t = 0 дается функцией g(x), которая может быть совершенно произвольной, то в момент времени t она будет описываться функцией

Найдем вид уравнения, которому удовлетворяет эта функция. Очевидно

Поэтому имеем уравнение

которое можно записать в следующем виде

Подействуем на это уравнение справа и слева дифференциальным оператором

и получим уравнение

Следовательно, раскрывая скобки, имеем уравнение

члены со смешанной производной, пропорциональные c, взаимно сокращаются. Разделив на c², окончательно приходим к уравнению

т.е. в точности к такому уравнению, которое мы получили для волны, распространяющейся в положительном направлении оси x.

4.9. Электродинамический принцип относительности.

Инвариантность относительно преобразований Лоренца.

Оказывается,одномерное волновое уравнение все же остается инвариантным при переходе от системы отсчета К к системе отсчёта К’, но если воспользоваться не преобразованиямиГалилея,а так называемыми преобразованиями Лоренца , которые имеют вид:

Теперь не только координата Х , но и время Т преобразуются .Докажем инвариантность . Снова рассмотрим функцию

где b=V/C. Тогда , дифференцируя её по t , получим

Следовательно ,

Далее , дифференцируя по t , получаем

Следовательно,

Подставим полученные выражения для вторых производных в исходное волновое уравнение Даламбера

Получим тогда уравнение

Таким образом , приходим к уравнению

слагаемые со смешанным вторым производным в обеих частях равенства сокращаются . Окончательно получаем уравнение

Следовательно , приходим к уравнению

т.е. в точности к исходному одномерному волновому уравнению Даламбера.

Итак , приходим к заключению , что волновое уравнение Даламбера инвариантно относительно преобразований Лоренца. Это важное математическое открытие в своё время сделал Лоренц, который ,однако, рассматривал не просто одноиерное волновое уравнение ,а уравнения Максвелла ,которые можно считать усложненным трехмерным “волновым уравнением”- для поперечных электромагнитных волн. Именно это математическое открытие позволило Лоренцу в 1904 г. Объяснить отрицательный результат экспериментов первого и второго порядков по V/C по обнаружению скорости V поступательного движения относительно эфира.

Отметим здесь ещё одну интересную возможную физическую интерпретацию полученного математического результата - с инвариантостью волнового уравнения относительно преобразований Лоренца.

Для большей определённости снова рассмотрим звуковые волны в воздухе в акустическом приближении . Эти волны можно рассматривать как самостоятельные физические объекты , ника не связанные со средой - воздухом , колебаниями которого они на самом деле являются . Среда теперь - совершенно другой физический объект , даже иной физической природы . Звуковые волны существуют сами по себе ,безо всякой среды. И этот новый физический объект -“ волны“ - поэтому совершенно естественно должен одинаково описываться во всех инерциальных системах отсчета , так как инерциальные системы отсчета не только механически , но и физически должны быть полностью равноправными.

В отношении звуковых волн в воздухе такая физическая интерпретация вполне возможна , но только о рамках акустического приближения , т.е. для волн очень малой (даже бесконечно малой) амплитуды . В случае звуковых волн конечной и большой амплитуды такая , казалось бы , самая простая и естественная интерпретация , разумеется , неправильна.

В специальной теории относительности обсуждаются не звуковые , а электромагнитные волны. Средой , подобной воздуху , для звуковых волн здесь является , правда , пока ещё экспериментально не открытая особая гипотетическая среда , называемая эфиром. Но эфир экспериментально не обнаружен , и вообще в настоящее время в современной фундаментальной физике электромагнитного поля ещё многое остаётся неясным. Поэтому можно считать , как это делают в настоящее время, описанную физическую интерпретацию единственно приемлемой , как это провозгласил Эйнштейн в 1905 г., что эфира в природе не существует.

Как выше отмечалось , оптические и электродинамические эксперименты , проведённые на Земле с целью обнаружения и измерения поступательной скорости V Земли первого и второго порядков малости по величине V/C=10^-4 , дали отрицательный результат . В частности , отрицательный результат дал и эксперимент Майкельсона-Морли с двухплечевым интерферометром . Никаких эффектов влияния поступательной скорости движения Земли все эти эксперименты не выявили .Скорость Земли в указанных эксперпиментах измерить не удалось.

Таким образом , к концу Х|Х века в результате всех этих экспериментальных неудач удалосьобобщить механический принцип относительности Галилея на электромагнитные ( в том числе и оптические ) явления и провозгласить общефизический принцип относительности, который иногда называют принципом относительности Эйнштейна.

Электродинамический принцип относительности .

Все физические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково. Нельзя с помощью каких-либо физических экспериментов в движущейся инерциальной системе тосчета определить скорость ее движения , если не производить наблюдений тел из системы отсчета , относительно которой мы хотим определить скорость движения.