Лекции по физике (стр. 33 из 42)
Обозначим через
направляющие косинусы для нормали, взятой к найденной приближённо волновой поверхности. Так как величина w /c мала, то углы 
так что приближённо можно положить 
.В этом месте своих рассуждений Стокс прибегает к гипотезе о потенциальности поля скоростей эфира.
Гипотеза Стокса. Поле скоростей эфира потенциально, т.е. существует такая функция j(x,y,z), что
Согласно гипотезе Стокса имеем следующие очевидные простые соотношения для компонент поля скоростей:
используя которые, выведенные приближённые формулы для углов a и bможно записать в виде 
Следовательно для изменения углов a и b от момента времени t=t1 до момента времени t=t2 имеем следующие очень простые формулы:
Из этих формул нетрудно получить общеизвестный закон аберрации. Пусть свет от звезды идёт по направлению, строго перпендикулярному направлению движения Земли. Первый момент времени t=t1 возьмём таким, чтобы фронт световой волны находился на столь большом удалении от Земли, чтобы для скорости эфира в точках этого фронта можно было считать, что
предполагаем, что Земля движется в положительном направлении оси x с постоянной скоростью u . Второй момент времени t=t2 возьмём в тот самый момент, когда волновой фронт дошёл до Земли, тогда 
Следовательно, фронт, идущий от звезды плоской волны, поворачивается по приближению к Земле таким образом, что угол, составленной его нормалью с осью х, станет равным
где u — скорость движения Земли, с — скорость света в покоящемся эфире. См. рис. 
Наблюдателю на Земле будет казаться, что звезда сместилась на небе в сторону направления движения Земли на угол аберрации равный
.В 1880 г. Стокс опубликовал важное дополнение к изложенной нами сейчас работе 1845 г. Он обратил внимание на то, что в работе 1845 г. он проследил лишь за изменениями направления нормали к фронту волны, по мере распространения волны от звезды до Земли. Когда эфир покоится, траектории волновых нормалей совпадают с траекториями лучей. Когда эфир движется, с заданным полем скоростей, траектории волновых нормалей и траектории лучей перестают совпадать.
Обозначим через n — единичный вектор нормали в некоторой точке фронта волны в момент времени t и через s — единичный вектор направления луча в этой точке волнового фронта, рассматриваемого в момент времени t . Пусть a, b — углы вектора нормали n с осями x, y, причём все эти углы мало отличаются от прямых
Стокс считает, что
где v(u,u,w) — поле скоростей эфира в рассматриваемой точке волнового фронта в момент времени t. Следовательно: 
или 
окончательно 
Приращение этих углов за интервал времени t, t+dt, когда dz= - cdt, таким образом равно 
Выше мы показали, что
так что окончательно
Принимая гипотезу Стокса о потенциальности поля скоростей эфира, таким образом, заключаем, что правые части приведенных равенств равны нулю.
Итак, изменение направления лучапо мере распространения равно нулю; лучи света в увлекаемом Землей эфире - приближенно прямолинейные.
4.8. Механический принцип относительности.
Инвариантность относительно преобразований Галилея.
Галилей еще в XVII в. сформулировал принцип относительности в механике, или механический принцип относительности.
Механический принцип относительности. Механические явления во всех инерциальных системах отсчета происходят совершенно одинаково. Нельзя с помощью механических экспериментов, производимых в движущейся инерциальной системе отсчета, определить скорость ее движения (если не производить наблюдений тел из системы отсчета, относительно которой мы хотим определить скорость движения).
Покажем, что уравнения механики математически записываются совершенно одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Для простоты рассмотрим движение материальной точки, т.е. тела, размерами которого можно пренебречь в рассматриваемой ситуации. Пусть это движение описывается в двух каких-нибудь инерциальных системах - в “покоящейся” системе K и в “движущейся” системе K'. Пусть в начальный момент времени декартовы оси этих систем совпадали и пусть система K движется вдоль оси x с постоянной скоростью v.
Координаты точки M, отсчитываемые относительно движущейся и относительно покоящейся систем отсчета K и K' связаны следующими формулами преобразования:
которые называют формулами преобразования Галилея. Время при преобразованиях Галилея никак не преобразуем, так что следует положить, что
.Эту формулу тоже будем относить к формулам преобразования Галилея.
Рассмотрим движение материальной точки M массы m относительно той и другой систем, происходящее, к примеру, вдоль оси x, под действием некоторой заданной силы F (действующей только вдоль оси x). Тогда в системах K и K' имеем следующие уравнения движения:
которые математически совершенно одинаковы (инвариантны). При этом одно уравнение получается из другого с помощью преобразований Галилея. Действительно, согласно этим преобразованиям:
так как очевидно dv/dt = 0 (скорость v постоянна).
Самыми фундаментальными объектами в физике являются точки и волны. Поэтому интересно посмотреть, а будет ли инвариантно относительно преобразований Галилея волновое уравнение, скажем, для простоты, одномерное волновое уравнение (уравнение Даламбера) для плоских волн, распространяющихся вдоль оси x. Пусть u = u(x,t) - волновая функция и c - скорость волны. Тогда имеем уравнение
Совершим в нем преобразование Галилея, другими словами - перейдем от независимых переменных x,t к переменным x',t', считая, что неизвестная волновая функция u теперь выражена в переменных x',t', т.е.
где
Таким образом,
Следовательно,
Далее,
Следовательно,
Подставим полученные выражения для вторых производных в исходное волновое уравнение. Тогда получим, что
или
Как видим, получили совсем не Даламбера, а другое уравнение (в которое входит v).
Таким образом, мы доказали, что одномерное волновое уравнение не инвариантно относительно преобразований Галилея.
Остановимся на выяснении физического смысла полученного результата. Для определенности представим себе обычные звуковые волны в воздухе. Они являются малыми возмущениями плотности и давления малых частиц воздуха, и в так называемом акустическомприближении (когда амплитуды этих возмущений малы) описываются волновым уравнением Даламбера