Лекции по физике (стр. 5 из 42)

Следует хорошо усвоить, что силы инерции действительно мифические, так как они не связаны ни с какими физическими взаимодействиями реальных физических тел.

К силам инерции относятся, в частности, так называемые центробежные силы и силы Кориолиса.

Пример 1. Определим силу F , стремящуюся растянуть, а потом и разорвать круговой обруч радиуса R массы M , равномерно вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью w .

Рассмотрение проведем в неинерциальной системе отсчета, вращающейся вместе с обручем с угловой скоростью w , в которой обруч покоится. В этой системе любая малая часть обруча тоже покоится. Рассмотрим бесконечно малый элемент обруча, стягиваемый центральным углом da . Кроме реальных физических сил, действующих на этот элемент обруча (к которым относятся силы F , действующие со

стороны примыкающих к обоим концам элемента остальных частей обруча и стремящиеся растянуть этот элемент обруча), надо рассмотреть теперь также и мифическую центробежную силу F_цб. , действующую на элемент нашего обруча. При этом, согласно закону центробежной силы, на бесконечно малый элемент обруча, стягиваемый центральным углом da , действует сила

,

где k- масса в расчете на единицу длины обруча, или линейная плотность массы, т.е. k=M/2pR .

Сумма трех векторов сил, действующих на рассматриваемый бесконечно малый элемент, должна равняться нулю, так как этот элемент обруча в рассматриваемой неинерциальной системе отсчета покоится. Другими словами,

или

и окончательно получаем

Пример 2. Найти угол наклона к горизонтали свободной поверхности жидкости, налитой в сосуд прямоугольной формы, скатывающийся с наклонной плоскости, имеющей угол наклона к горизонту a .

Рассмотрение снова удобно вести в неинерциальной системе отсчета, жестко связанной с сосудом с жидкостью, в которой жидкость покоится. Эта неинерциальная система равномерно ускоренно движется вниз вдоль наклонной плоскости с ускорением a=g sin a.

Таким образом, на каждую малуюжидкую частицу массы m в этой инер циальной системе действует не только сила тяжести F=mg , направленная вертикально вниз, но и сила инерции F_ин.=ma , направленная в противоположную сторону движения, т.е. вверх вдоль наклонной плоскости.

Жидкость в прямоугольном сосуде как бы находится в однородном поле новых сил тяжести, имеющих ускорение g’ , которое составляет некоторый угол b с вертикалью. Следовательно, свободная поверхность жидкости в скатывающемся сосуде, перпендикулярная направлению нового ускорения g’ , будет составлять такой же угол b с горизонтальной плоскостью. Найдем угол b . Имеем косоугольный треугольник

Применим к нему теорему синусов

, ,

sin b(1-sin²a)=cos b sin a cos a, sin b cos a =cos b sin a, tg b=tg a.

Следовательно, искомый угол b равен углу a, т.е. свободная по верхность жидкости в скатывающемся по наклонной плоскости сосуде будет параллельна наклонной плоскости.

4.4. Астрономические и земные измерения скорости света

Впервые скорость света была измерена в конце XVII в. в 1675 г. датским астрономом О.Ремером (1644-1710), который смог найти ее значение из наблюдений за спутниками Юпитера - четырьмя "медичейскими звездами", открытыми Галилеем в 1610 г. В настоящее время открыто 11 спутников Юпитера.

Периоды обращений этих спутников порядка нескольких дней; они малы по сравнению с периодом обращения Юпитера (12 лет) и Земли (1 год) вокруг Солнца. Ремер наблюдал за первым спутников Юпитера с периодом обращения 42 час 28 мин. Он заметил, что когда Земля двигалась по своей орбите, удаляясь от Юпитера, период обращения спутника становился длиннее. Когда Земля, наоборот, приближалась к Юпитеру, период обращения спутника становился короче. Ремер из этих наблюдений сделал правильный вывод, - что разность максимального и минимального периодов обращений спутника равна времени, необходимого свету для прохождения расстояния равного диаметру земной орбиты.

Орбита Юпитера, как и других планет, лежит приблизительно в плоскости орбиты Земли - в плоскости эклиптики; все планеты вращаются в одну сторону.

На рисунке L обозначает расстояние между Землей и спутником Юпитера в тот момент, когда он входит в тень Юпитера. Момент затмения наблюдается на Земле с запаздыванием, равным Dt=L/c , где c - скорость распространения света в межзвездной среде - эфире. Очевидно время запаздывания минимально или максимально, когда расстояние между Юпитером и Землей, соответственно, минимально или максимально.

Рассмотрим сначала наблюдаемый с Земли интервал времени T между двумя последовательными затмениями спутника, т.е. период обращения спутника вокруг Юпитера. Обозначим через T₀ истинный интервал времени между двумя последовательными затмениями, или истинный период обращения спутника вокруг Юпитера.

Рассмотрим, например, для определенности случай, когда Земля движется по направлению к Юпитеру со скоростью v. Тогда первое затмение спутника мы зафиксируем на Земле с запаздыванием, равным l/c , где l - расстояние от Земли до Юпитера в момент первого затмения, c - скорость света. Второе затмение спутника мы зафиксируем на Земле немного с другим запаздыванием, равным (l-Dl)/c , где Dl - расстояние, пройденное Землей к Юпитеру за время T₀ , прошедшее между двумя последовательными затмениями. Таким образом, отличие наблюдаемого периода T между двумя затмениями и истинного периода T-0 между ними равно

; но очевидно , а потому , т.е. наблюдаемый с Земли период обращения T оказывается меньше истинного периода T₀ .

Если теперь Земля удаляется от Юпитера со скоростью v , то отличие наблюдаемого периода T обращение спутника от истинного периода T₀ будет равно

, т.е. наблюдаемый с Земли период обращения спутника T окажется больше истинного периода T₀.

Предположим теперь, что мы будем наблюдать затмения спутника Юпитера в течение полугода, когда Земля перемещается из точки A в точку C.

Если наблюдать два последовательных затмения с Земли, находящейся в некоторой промежуточной точке M на своей орбите, то очевидно

где f - угол ASM , который равен f =2pt/T₃ , где t- время, протекающее с момента, когда Земля находилась в точке A своей орбиты, T₃ - период обращения Земли вокруг своей орбиты. В течение полугода, когда Земля перемещается вдоль пути ABC, изменение периода варьируется от DT=0 в точке A до максимального значения DT=T₀v/c в точке B и вновь до значения DT=0 в точке C .

Возьмем сумму изменений периода DT за полгода:

где k-номер наблюдаемого периода.

Очевидно сумму

можно рассматривать как интегральную сумму для следующего интеграла
так как t_k=kT₀, Dt_k=T₀. Вычисляя приведенный интеграл , находим Следовательно приходим к формуле
т.е. сумма изменений наблюдаемых с Земли периодов обращения спутника за полгода равна времени ,которое требуется свету для прохождения диаметра земной орбиты. Если в первую половину года , когда Земля двигалась по пути ABC , т.е. удаляясь от Юпитера , наблюдаемые с Земли периоды T_k обращения спутника были больше истинного периода T₀ , то во вторую половину года , когда Земля будет двигаться по пути CDA , т.е. приближаясь к Юпитеру , наблюдаемые периоды T_k обращения спутника будут меньше истинного периода T₀ причем для второй половины года