Лекции по физике (стр. 39 из 42)
то есть
С учётом соотношений
отсюда приходим к следующему окончательному функциональному уравнению для определения вида функции j:
которое удовлетворяется при любых значениях независимых переменных и x1 , x2 и t1 . Чтобы разрешить это функциональное уравнение, продифференцируем его по x2 и получим из него продифференцированное функциональное уравнение:
Положим в этом уравнении. x1 = x2 = x & t1 = t. Придем к уравнению
так что имеем очень простое дифференциальное уравнение
или
для определения вида функции
.Общее решение последнего уравнения имеет вид
где F- произвольная функция. Подставим эту формулу в приведенное выше продифференцированное функциональное уравнение. Учтем, что
и поэтому получим соотношение
Так как
то приходим к следующему уравнению
справедливому при любых значениях x1,x2,t1. Аргументы функций в правой и левой частях принимают произвольные значения при произвольных x1,x2,t1. Следовательно,
а потому , игнорируя получаем
где a и b- некоторые пока не определенные постоянные.
Составим теперь функциональное уравнение для функции y. Имеем
где G - произвольная функция. Вычитая первое уравнение из третьего уравнения и сравнивая полученный результат со вторым уравнением, получаем соотношение
Следовательно,
или
Отсюда непосредственно приходим к следующему основному функциональному уравнению для функции
:
Разрешим это уравнение, для чего сначала продифференцируем его по x2. Тогда получим уравнение
Полагая в этом последнем уравнении 
и 
, приходим кдифференциальному уравнению
или совсем простому уравнению
Следовательно,
Подставив эту формулу для в приведенное выше продифференцированное функциональное уравнение. Получим
Следовательно, 
Так как величины
совершенно произвольны, то аргументы функций Gв правой и левой частях могут принимать совершенно произвольные значения. Поэтому 
а следовательно,
где
- пока произвольные постоянные.Определение констант
Мы получили следующие формулы преобразования координат и времен мгновенного точечного события: 
Найдем константы
начнем с того, что выставим требование о согласовании начал отчетов координат и времени в обеих системах отсчета 
и 
.Требование 1. Событие, имеющее координаты 0, 0 в системе отсчета , имеет координаты 0, 0 в системе отсчета , и наоборот.
Следовательно, в приведенных формулах
и формулы преобразования приобретают следующий вид: 
Приведенные формулы преобразования мы получили как следствия наших шести основных соотношений. В них входят пока не определенные нами величины
и 
.Подставив эти формулы преобразования обратно в исходные шесть соотношений, мы можем найти ограничения на константы
и . Так, собственно говоря, и получается. Действительно, имеем равенства 
Как видим, чтобы эти равенства выполнялись, необходимо потребовать, чтобы константы
и были равны друг другу: 
Таким образом, искомые формулы преобразования координат мгновенного точечного события имеют вид
где
- пока не определенная константа .Как и в случае преобразований Лоренца, воспользуемся тем, что у нас имеется произвол в выборе единиц измерения либо длинны, либо времени в обеих системах отсчета и . Чтобы фиксировать указанный произвол, выставим дополнительное требование.
Требование 2. Длина l движущегося в системе стержня, покоящегося в системе , ориентированного вдоль оси
и имеющего в этой системе длину 
, т.е. 
.Рассмотрим движущийся стержень, все время покоящийся в системе отсчета между точками от
с координатами 
и 
.Пусть в одинаковые локальные моменты времени
в системе отсчета левый конец стержня совпал с точкой оси x, с координатой 
(событие A), 
(событие B). Тогда 
Вычитая второе равенство из первого, с учетом условия
получаем