Смекни!
smekni.com

Лекции по физике (стр. 37 из 42)

Вычитывая первое соотношение из третьего и сравнивая результат со вторым соотношением, получаем уравнение

т.е. уравнение

Видим, что функция

удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

в котором величины

не независимые, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета К. Используя эти соотношения, оставим независимыми только следующие три величины
и
. Величины
и
выразим через указанные величины:

Таким образом, приходим к следующему основному функциональному уравнению для искомой функции:

которое выполняется при произвольных значениях

и
.

Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, что продифференцируем его по

:

производная последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от

. Положим теперь в выведенном уравнении,

и тогда придем к дифференциальному уравнению

или уравнение

Легко найти общее решение последнего дифференциального уравнения. Для этого надо перейти только к новым независимым переменным

и показать, что в новых переменных уравнение имеет вид

Таким образом получаем общее решение нашего дифференциального уравнения:

в котором

пока произвольная функция.

Найдем вид этой функции. Подставим полученное выражение для функции

в продифференцированное функциональное уравнение. Получим тогда соотношение

или соотношение

Так как аргументы у функций в правой и левой частях равенства при произвольных значениях

и
совершенно произвольны, то получаем, что

а следовательно,

где

пока неопределенные постоянные.

Определение констант

. Мы получили, что формулы преобразований координат и времен произвольного мгновенного точечного события в инерциальных системах отсчета и имеют вид

Для нахождения констант

привлечем дополнительное требование.

Требование 1. Предположим, что общие начала отсчета координат и времени в системах отсчета K и

согласованы таким образом, что мгновенное точечное событие с координатами 0,0 в системе отсчета K имеет в системе отсчета
координаты 0,0 ( тоже нулевые координаты),и наоборот.

Применяя вышеприведенные формулы преобразования к событию 0,0 получаем, что

и поэтому формулы преобразования координат мгновенно точечного события приобретают следующий вид:

Теперь неопределенными остались только константы

и
.

Учтем теперь то обстоятельство, что формулы преобразования мы получили как следствия наших шести основных соотношений. Подставим поэтому полученные простые формулы обратно в эти исходные основные соотношения и установим ограничения на значения констант

и
. Имеем:

Таким образом, приходим к заключению, что константы

и
равны друг другу:

=

и поэтому формулы преобразования координат мгновенного точечного события имеют следующий вид:

где

— пока что неопределенная постоянная.

Разрешим теперь эти формулы преобразования относительно

и
. Имеем уравнения

Следовательно,

и поэтому

Полученные формулы сопоставим с формулами преобразования:

которые получаются с помощью рассуждений, совершенно аналогичных приведенным выше, но с заменой систем отсчета K и

друг на друга. Следует при этом только учесть, что система отсчета K движется относительно системы отсчета
не в положительном, а в отрицательном направлении оси
с некоторой положительной скоростью
(положительной), определенной в системе отсчета K . Здесь
— некоторое пока неизвестное нам число.

Сравнивая друг с другом приведённые пары формул преобразований, приходим к заключению, что имеют место следующие четыре равенства:

из которых непосредственно заключаем, что