Лекции по физике (стр. 34 из 42)

когда речь идет о плоских волнах, распространяющихся вдоль оси x.

Это уравнение, однако, математически описывает звуковую волну только в покоящемся воздухе. Если мы хотим описать звуковую волну в движущемся воздухе (движущемся равномерно прямолинейно со скоростью v вдоль оси x в отрицательном направлении оси x в лабораторной системе отсчета), то мы должны использовать не приведенное волновое уравнение, а только что выведенное более сложное уравнение

Таким образом, волновое уравнение для звука в движущейся среде отличается по виду от волнового уравнения для звука в покоящейся среде. И нет ничего удивительного в том, что волновое уравнение не инвариантно относительно преобразований Галилея. Мы неявно предположили, что исходная система K - это система отсчета, в которой среда (воздух) покоится.

Поясним сказанное подробнее. Пусть у нас имеется тело, движущееся со скоростью v вдоль оси x и пусть в этом теле распространяется волна в положительном или отрицательном направлении оси x.

Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси x. Относительно взятой системы отсчета она имеет скорость c_дв = c + v. Таким образом, если форма волны в нулевой момент времени дается функцией f(x), которая может быть взята произвольной, то в момент времени t она будет описываться функцией

Найдем вид уравнения, которому удовлетворяет эта функция. Очевидно

Поэтому функция u удовлетворяет следующему уравнению

которое можно представить в виде

Подействуем на это уравнение справа и слева дифференциальным оператором

и получим уравнение

Следовательно, раскрывая скобки, имеем уравнение

члены со смешанной производной, пропорциональные c, взаимно сокращаются. Разделив на c², окончательно приходим к уравнению

которое в точности совпадет с уравнением, полученным выше.

Рассмотрим теперь волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси x. Относительно нашей системы отсчета волна будет двигаться со скоростью c_дв = c - v.

Если форма волны в нулевой момент времени t = 0 дается функцией g(x), которая может быть совершенно произвольной, то в момент времени t она будет описываться функцией

Найдем вид уравнения, которому удовлетворяет эта функция. Очевидно

Поэтому имеем уравнение

которое можно записать в следующем виде

Подействуем на это уравнение справа и слева дифференциальным оператором

и получим уравнение

Следовательно, раскрывая скобки, имеем уравнение

члены со смешанной производной, пропорциональные c, взаимно сокращаются. Разделив на c², окончательно приходим к уравнению

т.е. в точности к такому уравнению, которое мы получили для волны, распространяющейся в положительном направлении оси x.

4.9. Электродинамический принцип относительности.

Инвариантность относительно преобразований Лоренца.

Оказывается, одномерное волновое уравнение все же остается инвариантным при переходе от системы отсчета K к системе отсчёта К’, но если воспользоваться не преобразованиями Галилея, а так называемыми преобразованиями Лоренца, которые имеют вид:

Теперь не только координата Х, но и время Т преобразуются. Докажем инвариантность. Снова рассмотрим функцию

где b=V/C. Тогда , дифференцируя её по t , получим

Следовательно ,

Далее, дифференцируя по t, получаем

Следовательно,

Подставим полученные выражения для вторых производных в исходное волновое уравнение Даламбера

Получим тогда уравнение

Таким образом, приходим к уравнению

слагаемые со смешанным вторым производным в обеих частях равенства сокращаются. Окончательно получаем уравнение

Следовательно, приходим к уравнению

т.е. в точности к исходному одномерному волновому уравнению Даламбера.

Итак, приходим к заключению, что волновое уравнение Даламбера инвариантно относительно преобразований Лоренца. Это важное математическое открытие в своё время сделал Лоренц, который, однако, рассматривал не просто одномерное волновое уравнение, а уравнения Максвелла, которые можно считать усложненным трехмерным “волновым уравнением” - для поперечных электромагнитных волн. Именно это математическое открытие позволило Лоренцу в 1904 г. Объяснить отрицательный результат экспериментов первого и второго порядков по V/C по обнаружению скорости V поступательного движения относительно эфира.

Отметим здесь ещё одну интересную возможную физическую интерпретацию полученного математического результата - с инвариантностью волнового уравнения относительно преобразований Лоренца.

Для большей определённости снова рассмотрим звуковые волны в воздухе в акустическом приближении . Эти волны можно рассматривать как самостоятельные физические объекты , никак не связанные со средой - воздухом, колебаниями которого они на самом деле являются . Среда теперь - совершенно другой физический объект, даже иной физической природы. Звуковые волны существуют сами по себе ,безо всякой среды. И этот новый физический объект -“волны“ - поэтому совершенно естественно должен одинаково описываться во всех инерциальных системах отсчета, так как инерциальные системы отсчета не только механически, но и физически должны быть полностью равноправными.

В отношении звуковых волн в воздухе такая физическая интерпретация вполне возможна, но только о рамках акустического приближения, т.е. для волн очень малой (даже бесконечно малой) амплитуды. В случае звуковых волн конечной и большой амплитуды такая, казалось бы, самая простая и естественная интерпретация, разумеется, неправильна.

В специальной теории относительности обсуждаются не звуковые, а электромагнитные волны. Средой, подобной воздуху, для звуковых волн здесь является, правда, пока ещё экспериментально не открытая особая гипотетическая среда, называемая эфиром. Но эфир экспериментально не обнаружен , и вообще в настоящее время в современной фундаментальной физике электромагнитного поля ещё многое остаётся неясным. Поэтому можно считать, как это делают в настоящее время, описанную физическую интерпретацию единственно приемлемой, как это провозгласил Эйнштейн в 1905 г., что эфира в природе не существует.

Как выше отмечалось, оптические и электродинамические эксперименты, проведённые на Земле с целью обнаружения и измерения поступательной скорости V Земли первого и второго порядков малости по величине V/C=10^-4, дали отрицательный результат. В частности, отрицательный результат дал и эксперимент Майкельсона - Морли с двухплечевым интерферометром. Никаких эффектов влияния поступательной скорости движения Земли все эти эксперименты не выявили .Скорость Земли в указанных экспериментах измерить не удалось.

Таким образом, к концу Х|Х века в результате всех этих экспериментальных неудач удалось обобщить механический принцип относительности Галилея на электромагнитные (в том числе и оптические) явления и провозгласить общефизический принцип относительности, который иногда называют принципом относительности Эйнштейна.

Электродинамический принцип относительности.

Все физические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково. Нельзя с помощью каких-либо физических экспериментов в движущейся инерциальной системе отсчета определить скорость ее движения , если не производить наблюдений тел из системы отсчета , относительно которой мы хотим определить скорость движения.

Математическое свойство инвариантности относительно преобразований Лоренца основных уравнений электродинамики - уравнений Максвелла использовалось Лоренцем в 1895 г. И в 1904 г. Для объяснения, почему с помощью электродинамических экспериментов нельзя определить скорость поступательногодвижения Земли в эффектах первого и второго порядков малости ( 1895 г.) и вообще во всех эффектах (1904 г. ).