Задачи Лоповок (стр. 16 из 19)

82. Может ли площадь одной боковой грани пирамиды быть равной сумме площадей остальных боковых граней? Мо­жет ли она превысить названную сумму площадей? Подкрепите свои соображения примерами.

83. Площадь боковой поверхности правильной четырех­угольной пирамиды равна сумме площадей основания и диаго­нальных сечений. Найдите величину плоского угла при вер­шине пирамиды.

84. Из центра основания О правильной четырехугольной пирамиды, площадь поверхности которой О, проведены парал­лельно боковым ребрам пирамиды прямые ОА\, ОВ\, ОС\, ОВ\ (рис. 63). Найдите площадь поверхности пирамиды ОА1В\С\В\.

Сечение пирамиды

85. Плоский угол при вершине правильной пирамиды — прямой. Как построить сечение пирамиды плоскостью, прохо­дящей через вершину пирамиды, чтобы оно было равносторон­ним треугольником?

86. Сторона основания правильной треугольной пирамиды 20 см, боковое ребро 30 см. Постройте сечение, имеющее форму квадрата, и определите его площадь.

87. Площадь малого осевого сечения правильной четырех­угольной пирамиды О. Найдите площадь сечения, которое пер­пендикулярно стороне основания и делит эту сторону в отно­шении 1:5.

88. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основа­ния 10 см, а боковое ребро 13 см. Найдите площадь сечения, проходящего через центр основания параллельно боковой грани.

89. Сторона основания правильной четырехугольной пира­миды МАВСО равна а, боковое ребро I. Постройте сечение через середины сторон основания АВ и ВС параллельно ребру МВ и определите площадь сечения.

90. Сторона основания правильной четырехугольной пира­миды 12 см, а боковое ребро 11 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону основания перпендикулярно про­тиволежащей боковой грани.

91. Периметр основания правильной треугольной пирамиды 45 см, боковое ребро 14 см. Найдите площадь сечения, кото­рое проходит через середину медианы основания перпенди­кулярно этой медиане.

92. Через сторону основания правильной четырехугольной пирамиды и среднюю линию параллельной боковой грани про-

о ведено сечение. Докажите, что его площадь больше — площади

основания.

93. Через сторону основания правильной шестиугольной пирамиды и среднюю линию параллельной боковой грани про-

ведена плоскость. Докажите, что площадь сечения больше —

площади основания.

94. Основание пирамиды МАВСВ — ромб с диагоналями АС = 24 см, ВО == 21см. Боковое ребро МА == 18 см перпен­дикулярно плоскости основания. Найдите площадь сечения, которое проходит через вершину А и середину ребра МС па­раллельно диагонали ВО основания (рис. 64)..

Параллельные сечения пирамиды

95. Построены два сечения пирамиды плоскостями, перпен­дикулярными боковому ребру. Относятся ли площади этих сечений как квадраты их расстояний от вершины пирамиды?

96. Площадь основания пирамиды 128 см2. Площади двух сечений, параллельных основанию, 18 и 50 см2, расстояние между плоскостями сечений 12 см. Найдите высоту пирамиды.

97. Боковое ребро и высота правильной четырехугольной пирамиды 35 и 28 см. В пирамиду вписан куб так, что его 4 вер­шины лежат на основании пирамиды, а 4 — на апофемах пирамиды. Найдите ребро куба.

98. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см. Высота пирамиды Н == 24 см находится внутри пирамиды. В пирамиду вписан куб так, что 4 вершины его лежат на основании пирамиды, а 4 — на боковых гранях, причем боковые грани куба параллельны катетам основания (рис. 65). Найдите ребро куба.

Усеченная пирамида

99. Докажите, что диагонали правильной четырехугольной усеченной пирамиды пересекаются в одной точке.

100. Площади оснований усеченной пирамиды 75 и 147 см2. Найдите площадь сечения, проходящего через середины всех боковых ребер.

101. Диагональ правильной четырехугольной усеченной пи­рамиды имеет длину 15 см и делит отрезок, соединяющий центры оснований, на части в 4 и 5 см. Найдите площади осно­ваний усечённой пирамиды.

102. Отрезок 00\ = 27 см, соединяющий центры оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды, разделил ее диагональ на части в 20 и 25 см. Найдите площади оснований.

103. Сторона меньшего основания, боковое ребро и сторона большего основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды составляют арифметическую прогрессию с разностью 4 см. Высота усеченной пирамиды 7 см. Найдите площади оснований.

104. В правильной шестиугольной усеченной пирамиде отре­зок, соединяющий середину малой диагонали большего осно­вания с центром другого основания, параллелен одному из боко­вых ребер. Как относятся площади оснований усеченной пирамиды?

105. В правильной треугольной усеченной пирамиде сторо­ны оснований 2 и 5 дм, высота 1 дм. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону меньшего основания параллельно боковому ребру.

106. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды относятся, как 1 : 3. Периметр боковой грани равен

периметру одного из оснований. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.

107. Центр каждого основания правильной треугольной усеченной пирамиды соединен с вершинами другого основания (рис. 66). Найдите длину линии, которая соединяет попарно точки пересечения построенных отрезков, если периметры осно­ваний усеченной пирамиды равны Р и Р\.

Площадь поверхности усеченной пирамиды

108. Стороны основания правильней шестиугольной усечен­ной пирамиды 5 и 11 см. Расстояние между параллельными сторонами оснований, не лежащими в одной грани, 19 см. Най­дите площадь поверхности усеченной пирамиды.

109. Сечение, проходящее через середины всех боковых ребер правильной пирамиды, разделило ее на части, площади полных поверхностей которых относятся, как 3 : 11. Определите двугранный угол при основании пирамиды.

110. Периметры оснований правильной треугольной усечен­ной пирамиды 18 и 36 см. Расстояние от вершины меньшего основания до противолежащей стороны другого основания 7 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пи­рамиды.

111. Периметры оснований правильной шестиугольной усе­ченной пирамиды АВСВЕРА\В1С\В\Ё\Р\ 28 и 124 см. Рас­стояние от вершины А \ меньшего основания до прямой СЕ равно 17 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пира­миды.

112. Основания усеченной пирамиды — ромбы с отно­шением сторон 3 : 4 и длинами сторон 15 и 25 см. Одно из боко­вых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно мень­шей диагонали меньшего основания. Найдите площадь по­верхности усеченной пирамиды.

Правильные многогранники

113. Докажите, что тетраэдр с вершинами в центрах масс граней правильного тетраэдра — правильный. Как относятся площади поверхностей этих тетраэдров?

114. В каком отношении делятся при пересечении высоты правильного тетраэдра?

115. Для каких п можно построить сечение октаэдра плос­костью, являющееся правильным ге-угольииком?

116. Докажите, что градусные меры двугранного угла пра­вильного тетраэдра и угла между смежными гранями октаэдра в сумме составляют 180°.

117. Точка О — середина высоты МО правильного тетраэдра МАВС. Докажите, что лучи ОА, 0В, ОС попарно взаимно пер­пендикулярны.

Движения

118. Сколько центров симметрии имеют две параллель­ные плоскости? Какую фигуру образуют все эти центры?

119. Постройте фигуру, симметричную данной треугольной пирамиде относительно центра масс ее: а) основания; б) данной боковой грани.

120. Постройте фигуру, симметричную дайной правильной га-угольной пирамиде (п == 4; 6; 3) относительно середины: высо­ты пирамиды.

121. АВСВА\В\С\В\ — параллелепипед, точка М 6 ал. Постройте отрезок МN, у которого середина находится на плос­кости СС\А, а точка N лежит на ребре СВ.

122. Постройте отрезок с концами на ребрах АВ и МС и сере­диной на высоте МО правильной пирамиды МАВС.

123. Докажите, что любую четырехугольную пирамиду можно пересечь плоскостью так, чтобы сечение имело центр симметрия.

124. Напишите уравнение плоскости, которая симметрична плоскости х + у -\- г — 3=0 относительно точки М (2; 2; 2).

125. Дан квадрат АВСВ с вершинами А (4; 0; 0) и В (8; 3; 0), плоскость которого параллельна осж Ог. Найдите координаты вершин квадрата, который симметричен данному относительно точки (2; 2; 2).

126. МАВСВ — правильная пирамида. Постройте фигуру, симметричную относительно плоскости основания: а) средней линии боковой грани (два случая); б) отрезку, соединяющему центры масс граней МАВ и МВС; в) грани МАО.

127. АВСА\В\С\ — правильная приема. Постройте фигуру, симметричную относительно плоскости АВВ\: а) отрезку В^', б) данному отрезку с концами на ЕС и А\С\.

13В. Все ребра пирамиды МАВСВ равны. Найдите на плос­кости ее основания точку, равноудаленную от точек Р и У, лежа­щих на МА и МС.

129. Точки В и Е находятся на боковых гранях правиль­ной пирамиды МАВС. Найдите на плоскости АВС точку с наи­меньшей возможной суммой расстояний от В и Е.

130. Точки В и Е находятся на высоте треугольной пи­рамиды МАВС. Постройте на поверхности пирамиды все точки, равноудаленные от точек В и Е.

131. Точки В та Е находятся на стороне основания правиль­ной пирамиды МАВС. Найдите на поверхности пирамиды все точки, равноудаленные от В и Е.

132. На гранях АВВ\А\ и ВСС\В{ правильной треугольной приемы АВСА\В\С\ даны точки В и Е. Постройте равнобедрен­ный треугольник, у которого вершина находится на ВВг, концы основания — на АВ и ВС, а боковые стороны проходят че­рез В и Е.

133. Точки В и Е находятся на гранях МАВ и МВС пра­вильной пирамиды МЛ.ВС. Постройте равнобедренный треуголь­ник с вершиной на МВ, концами основания на АВ и ВС, чтобы боковые стороны содержали В у. Е.