Задачи Лоповок (стр. 3 из 19)

128. Даны точки А, В, С, В. Постройте окружность, которая проходит через точки А и В» а касательные к ней, проведенные из точек С и В, равной длины.

129. Даны окружность М точка М вне ее. Проведите через М прямую, пересекающую окружность в точках, расстояние между которым» равно с.

130- Постройте окружность, которая касается двух дан­ных окружностей, причем одной из них — в данной точке М.

181. Постройте треугольник АВС по основанию, высоте, проведенной к боковой стороне, и радиусу описанной окруж­ности.

132. Постройте треугольник по высоте и медиане, проведенным к основанию, и радиусу описанной окружности.

133. Постройте треугольник АВС, если дана прямая, "а которой лежит биссектриса угла А, и точка касания сторон АВ и ВС вписанной в треугольник окружности.

134. Постройте две окружности, каждая из которых касается одной из равных сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Докажите, что эти окружности равны, а прямая, проходящая через их центры, параллельна основанию тре­угольника.

Вписанные углы

135. Докажите теорему о вписанных углах, пользуясь рисунком 18.

136. Треугольник АВС — остроугольный, ВМ и СМ — перпендикуляры к АВ и АС. Докажите, что точка М лежит на окружности, описанной около треугольника АВС.

137. О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Докажите, что центр окружности, проходящей через точки А, В, О, лежит на прямой СО.

138. Два угла треугольника имеют величины 52° и 58°. Вписанная окружность касается сторон треугольника в точках К, Ъ, М. Определите величины углов треугольника КЬМ.

139. Один из углов треугольника 40°. Стороны этого угла видны из центра описанной окружности под углами, которые относятся, как 2 : 3. Найдите эти углы.

140. Найдите углы треугольника, две стороны которого видны из центра описанной окружности под углами: а) 122° и 104°; б) 29° и 47°.

141. 0\ и Оч — центры вписанной и описанной окружно­стей треугольника АВС. Зная, что ^- АО\В = //- АОчВ, най­дите /- С.

142. АА\ и ВВ\ — высоты треугольника АВС. Постройте треугольник АВС по точкам А\, В\ и прямой АВ.

143. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и медиане, проведенной к одному из катетов.

144. Постройте треугольник АВС по высоте АВ, углу между ВС и медианой АЕ, радиусу описанной окружности.

145. Прямая ВЕ проходит через вершину А треугольника АВС и касается описанной около треугольника окружности. Докажите, что углы ВАВ и ЕАС равны соответствующим углам треугольника.

146. В окружность вписан равносторонний треугольник АВС, М — точка окружности, находящаяся внутри угла АСВ. Докажите, что МА+ МВ = МС.

147. Вершины треугольника АВС находятся в точках I, V, VIII циферблата часов. Построены высоты АМ и СВ и перпендикуляр ВЕ к АС. Докажите, что АЕ = СМ (рис. 19).

148. Высота, биссектриса и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на 4 равные части. Найдите величины углов треугольника.

149. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили угол на части, которые относятся, как 4:7:4. Найдите величины углов треугольника.

150. В треугольнике АВС на стороне ВС есть такая точка М, что ВМ = 2 МС и А- АМВ == 60°. Зная, что ^ ВАС = 60°, най­дите величины остальных углов треугольника.

ВОСЬМОЙ КЛАСС

Четырехугольник

1. В четырехугольнике проведены его диагонали. Сколько равных отрезков могло оказаться на рисунке?

2. В четырехугольнике проведены его диагонали. Какое наибольшее число прямых углов может оказаться на рисунке?

3. Верно ли, что среди углов выпуклого четырехуголь­ника всегда найдется хоть один прямой или тупой угол?

4. Постройте четырехугольник АВСВ по углам А и. В, сторонам АВ, АВ и сумме двух других сторон.

5. У четырехугольника АВСD угол С — прямой. Постройте этот четырехугольник по длинам сторон АВ, АВ, СВ и величине угла А.

Параллелограмм

6. Придумайте и обоснуйте признаки параллелограмма, от­личные от рассмотренных в школьном пособии по геометрии.

7. Точка М находится внутри угла, вершина которого недоступна (то есть лежит за пределами доступной части плос­кости). Постройте луч с началом М, направленный на вершину угла.

8. Пластинку в виде параллелограмма разрезали на 3 части, каждая из которых является равнобедренным треугольником. На рисунке 20 отмечено, какие отрезки равны. Определите градусные меры углов параллелограмма.

9. Точка М находится внутри данного угла. Постройте отрезок, у которого концы лежат на сторонах данного угла, а середина — в точке М.

10. Точки А и С находятся внутри данного угла. Постройте параллелограмм АВСD, у которого вершины В и D находятся на сторонах данного угла.

11. АВСD — параллелограмм. Вне его построены квадраты АВРЕ и ВСКМ. Докажите, что отрезки ЕВ и ВК взаимно перпен­дикулярны.

12. Постройте параллелограмм АВСВ по положению бс] -шин Л и В и расстояниям от данной точки М до вершин С и 1,

13. Постройте параллелограмм АВСD, если дана прям; и ВТ) и основания высот, проведенных из вершины В.

14. АВС1> — параллелограмм. Вне его построены равно­сторонние треугольники АВМ и ВСТ. Докажите, что А МОТ - равносторонний.

15. Периметр параллелограмма 48 см. Биссектриса одно а из углов делит параллелограмм на две части, разность периметров которых 6 см. Найдите длины сторон.

16. Через точку М на основании данного равнобедренного треугольника проведены прямые, соответственно параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр полученного параллелограмма не зависит от выбора точки М.

17. Биссектриса угла В параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС и продолжение стороны АВ в точках М и N. Докажите, что треугольники АВН и МСВ — равнобедренные.

18. Диагональ параллелограмма делит его угол в отноше­нии 1 : 3. Зная, что длины сторон относятся, как 1 : 2, найдите углы параллелограмма.

Прямоугольник

19. Диагонали четырехугольника равны, два угла его — прямые. Является ли этот четырехугольник прямоугольником?

20. Диагонали делят прямоугольник на 4 части, периметры

9 4 т. двух из них равны —и —периметра прямоугольника. Как отно­сятся длины сторон прямоугольника?

21. На рисунке 21 изображена фигура, у которой каждые две соседние стороны взаимно перпендикулярны. Найдите ее периметр.

22. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника делит его сторону на части, одна из которых вдвое больше другой. Определите, на какие части диагональ делит угол прямоугольника.

23. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника делит его сторону на части, одна из которых равна меньшей стороне прямоугольника. Найдите угол между диагоналями прямоугольника.

24. АВСВ — прямоугольник. На сторонах АВ и СВ отло­жены равные отрезки ВМ и СЕ; МК — перпендикуляр, опущен­ный на АС. Найдите /- ВКЕ.

25. На стороне ВС хтрямоугольника АВСВ есть такая точка М, что /- АМВ == А. АМВ. Зная, что АВ = 2 АВ, найдите вели­чины названных углов.

Ромб

26. Точка пересечения диагоналей четырехугольника равно­удалена от всех его сторон. Установите вид четырехугольника.

27. Вне ромба АВСВ построен равносторонний треугольник АМВ. Найдите /- СМВ.

28. Решите задачу 27 для случая, когда М находится внутри ромба.

29. Биссектрисы углов ВАС и В параллелограмма АВСDпересекаются под углом 45°. Найдите угол между биссектри­сами углов АВВ и АСВ.

30. Постройте ромб АВСD, если даны середина стороны и центры окружностей, описанных около треугольников АВС »АВС.

31. Постройте ромб АВСВ по положению вершин А и В и расстоянию от данной точки М до середины ВС.

32. Постройте ромб АВСВ по положению вершин А и С расстоянию от данной точки М до середины ВС.

Квадрат

33. Какую фигуру образуют все точки плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от координатных осей равна 2?

| 34. Периметр квадрата 4. Найдите на плоскости квадрата все точки, для каждой из которых сумма расстояний от сторон квадрата или их продолжений равна 6.

35. В точках А, В, С прямой построены к ней перпенди­куляры АВ, СЕ и ВР, причем АВ == ВС, СЕ = АВ, ВР == АС, первые два в одной полуплоскости, третий — в другой (рис. 22). Докажите, что В — центр квадрата со стороной ВЕ, А — центр квадрата со стороной ЕР, С — центр квадрата со сторо­ной ВР.

36. На местности был отмечен участок АВСВ квадрат­ной формы. Из-за дождей границы участка были размыты, остались веха в центре О участка и колышки М ^ АВ и N (= СВ. Можно ли по этим данным восстановить границы участка?

37. Можно ли решить задачу 36, если второй колышек нахо­дится на стороне ВС?

38. АВСВ — квадрат. На сторонах АВ и ВС отложены Равные отрезки ВК и ВМ; ВТ — перпендикуляр, опущенный на КС. Найдите /- МТБ.

39. Постройте квадрат: а) по сумме стороны с диагональю;

б) по разности длин диагонали и стороны.

40. Можно ли построить квадрат АВСВ, у которого разность Расстояний от вершины В до прямых АВ и АС равна о?

41. АВСВ — квадрат. Найдите все такие точки М, что треугольники МАВ, МВС, МСВ, МАВ будут равнобедренный •,

42. На прямой отмечены точки А, В, С, В так, что АВ = С::), и построены квадраты со сторонами АВ, ВВ, АС, СО. Первые два находятся по одну сторону от АО, последние — по другую. Являются ли центры этих квадратов вершинами квадрат. ?

43. АВСВ, ВСЕР и РЕКМ — равные квадраты. Докажи, что ^. САМ + ^- ЕАМ + ^ КАМ == 90° (рис. 23).