Структура аффинного пространства над телом (стр. 10 из 19)

Если основное тело

коммутативно, то группа является инвариантной подгруппой группы .

Проектирования

Назовем проектированием

любое аффинное отображение пространства в себя, удовлетворяющее условию

Рис. 2

Для такого отображения любая точка

является неподвижной; принимая такую точку за начало, мы приходим к случаю проектирования для векторного пространства . Отсюда вытекает существование таких отображений, а также следующая их геометрическая характеризация:

Предложение 5.8. Отображение

является проектированием, если существует ВПП пространства и ЛАМ в с направляющим подпространством дополнительным к , такие, что для любой точки ее образ есть точка пересечения с ЛАМ, проходящим через с направлением (рис. 2).

Аффинные симметрии

Теорема 5.9. Пусть

- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством

над телом

характеристики

.

Для того, чтобы аффинное отображение

было инволютивным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело по меньшей мере одну неподвижную точку и чтобы его линейная часть была векторной симметрией

Такое отображение называется аффинной симметрией.

Доказательство. Если

и , то образом середины отрезка будет середина отрезка таким образом, эта точка инвариантна при отображении и, выбрав ее за начало, мы сведем дело к векторному случаю.

Предложение 5.10. Отображение

является аффинной симметрией, если существуют ВПП пространства и ЛАМ с направлением, дополнительным к такие, что для любой точки (см.рис.2)

1).

2). Середина

принадлежит .

Если

сводится к одной точке то и есть центральная симметрия с центром

Теорема Фалеса

Пусть по-прежнему

есть ВПП в и - два аффинных пространства в , направляющие которых соответственно дополнительны к Обозначим через (соотв. ) ограничение проектирования на (соотв. ) параллельно Тогда, как легко видеть, является аффинной биекцией на , обратная к которой есть . Образ точки определяется условиями и (см. рис. 3).

В более общей форме теорема Фалеса есть не что иное, как констатация того факта, что установленное

Рис.3

указанным способом соответствие между

и является аффинным.

В частности, если

векторная гиперплоскость, то справедлива

Теорема 5.11. Аффинные гиперплоскости, параллельные некоторой фиксированной гиперплоскости, высекают на произвольной паре не параллельных им прямых пропорциональные отрезки.

§6. Каноническое погружение аффинного пространства в векторное. Приложения.

Пусть снова

- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством

. Как мы уже видели, выбор начала в

позволяет отождествить

с

теперь мы докажем, что

канонически отождествляется с аффинной гиперплоскостью некоторого пространства

изоморфного

Метод будет состоять в сопоставлении каждой точке

отображения

Предварительно сформулируем такое утверждение: