Структура аффинного пространства над телом (стр. 9 из 19)

Неподвижные точки аффинных и полуаффинных отображений.

Теорема 5.5. Если

- полуаффинное отображение и множество его неподвижных точек не пусто, то оно является ЛАМ с направляющим множеством , состоящим из неподвижных элементов отображения .

С другой стороны, если

конечномерно и не имеет других неподвижных элементов, кроме 0, то имеет единственную неподвижную точку.

Доказательство. Если фиксировать точку

, условие равносильно и, значит, условию где

· Если

- неподвижная точка то равносильно откуда вытекает первое утверждение.

· Если

, то отображение инъективно и потому в случае конечной размерности биективно; в существует единственная точка такая, что откуда следует второе утверждение.

Важное замечание. Если

- произвольное отображение и - биекция, то

Это общее замечание особенно полезно в случае аффинных отображений.

Аффинные и полуаффинные группы.

Если

и - два аффинных (соотв. полуаффинных) отображения, то также есть аффинное (соотв. полуаффинное) отображение и Отсюда выводится

Теорема 5.6. Пусть

- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством Аффинные (соотв. полуаффинные) биекции

на образуют группу, которую мы обозначаем (соотв. ). Отображение (линейная или полулинейная часть) есть гомоморфизм на и на группу полулинейных биекций на .

Наконец, для любой точки

в ограничение на группу изотропии точки в (соотв. ) является изоморфизмом этой группы на (соотв. ).

Последнее утверждение получим, выбирая

в качестве начала в .

Следствие. Если

подгруппа в (соотв. в ), то есть подгруппа в (соотв. в ); при этом если инвариантная подгруппа, то такова же и .

В частности, если

то есть инвариантная подгруппа в , образованная трансляциями.

Если

то есть инвариантная подгруппа в , образованная трансляциям и центральными симметриями.

Если

инвариантная подгруппа группы , образованная векторными гомотетиями, то есть инвариантная подгруппа в , называемая группой дилатаций.

Пусть

дилатация, не сводящаяся к трансляции; тогда векторная гомотетия вида где В этом случае имеет единственную неподвижную точку определяемую из условия где произвольная точка . Таким образом, выражается как Такое отображение называется гомотетией с центром

и коэффициентом

Сформулируем

Предложение 5.7. Трансляции и гомотетии

составляют инвариантную подгруппу группы , называемую группой дилатаций . Мы обозначаем ее .