Структура аффинного пространства над телом (стр. 5 из 19)

Более элементарный и конструктивный способ состоит в выборе в

начальной точки , что сводит задачу к отысканию наименьшего векторного подпространства в ℰ_A, содержащего (поскольку ЛАМ, содержащее , являются ВПП в ℰ). Таким образом, есть ВПП в ℰ_A, порожденное ; при этом сам характер задачи показывает, что это ВПП не зависит от выбора точки в . Если мы заметим, что направляющее подпространство для есть ВПП в , порожденное векторами , то получим также

Предложение 3.7. Пусть

- непустое подмножество в ℰ; для каждой точки положим . Тогда векторное пространство не зависит от выбора и есть ЛАМ, проходящее через с направлением .

Можно дать прямое доказательство этого утверждения, аналогичное доказательству предложения 3.2.

В частности, если

- конечное множество, то векторное пространство не зависит от и, следовательно, совпадает с

и .

Отсюда вытекает

Предложение 3.8. Размерность аффинного подпространства, порожденного

точками пространства ℰ не превосходит ; его размерность равна тогда и только тогда, когда векторов ( ) образуют свободное семейство.

Другие свойства ЛАМ изучаются в связи с понятием барицентра.

Барицентры: приложения к изучению аффинных подпространств

В последующем ℰ всегда обозначает аффинное пространство, ассоциированное с левым векторным пространством

над, вообще говоря, некоммутативным телом . ”Взвешенной точкой” называется элемент ℰ .

Теорема 4.1. Для каждого конечного семейства (системы)

взвешенных точек, такого, что , существует единственная точка , удовлетворяющая любому (а тогда и двум остальным) из следующих трех условий a), b), c):

a)

,

b)

ℰ

,

c)

ℰ

.

Эта точка называется барицентром (центром тяжести) системы

. Мы обозначим ее .

Эквивалентность трех условий легко устанавливается с помощью соотношения Шаля.

Свойства. a) Однородность (слева).

Предложение 4.2. Для любого

имеем

b) Ассоциативность.

Предложение 4.3. Пусть

- разбиение , т.е. совокупность непустых попарно непересекающихся подмножеств , таких, что .

Если для любого

скаляр отличен от нуля и мы положим , то

.

Доказательства получаются непосредственно

Замечания. По определению 4.2. можно всегда привести дело к случаю, когда ”полная масса” системы

, т.е. равна 1. В этом и только в этом случае можно положить

.

Для успешного использования этого обозначения следует заметить, что соотношение

равносильно каждому из следующих утверждений:

и

ℰ

, (1)

ℰ

, (2)

так как (2) влечет за собой (1).

Эквибарицентром конечного подмножества

пространства ℰ называется точка . Она существует только тогда, когда характеристика не является делителем числа .

Следующее утверждение показывает, что отыскание барицентра сводится, за некоторыми исключениями, к последовательному построению барицентров пар точек.

Предложение 4.4. Пусть

- конечное семейство взвешенных точек, таких, что для всех , и .