Структура аффинного пространства над телом (стр. 6 из 19)

Если характеристика

отлична от 2, то существует разбиение множества , такое, что

и .

Доказательство. Если одна из сумм

отлична от нуля, то достаточно положить и .

Если все суммы

равны нулю, то все равны одному и тому же элементу , такому, что , где .

Если характеристика

отлична от 2, то , и, поскольку не равно нулю, получим искомое разбиение, выбирая как двухэлементное подмножество, а как подмножество из элементов.

Следствие. Если характеристика

не равна 2, то построение барицентра точек приводится к последовательному построению барицентров пар.

Приложения к линейным аффинным многообразиям

Теорема 4.5. Если

- непустое подмножество в ℰ, то есть множество барицентров конечных семейств взвешенных точек с носителями в .

Доказательство. Уточним сначала, что под носителем семейства

понимается множество .

Условившись об этом, выберем некоторую точку

в . Барицентры семейства с носителями в суть точки , удовлетворяющие соотношению вида

, (3)

где

и . При этом соотношение (3) влечет за собой и поэтому (см. предложение 3.7). Обратно, если - точка из , то найдутся точки , принадлежащие , и скаляры ( с суммой, необязательно равной 1), такие, что ; это соотношение также записывается в виде

с и ;

таким образом,

есть барицентр системы с носителем в .

Определение 4.1. Подмножество

ℰ называется аффинно порождающим ℰ, если ℰ; оно называется аффинно свободным, если любая любая точка из единственным образом представляется в виде

, где и при любом .

Множество, одновременно аффинно свободное и аффинно порождающее, называется аффинным репером.

Выбирая начало

в и пологая , легко видеть, что аффинно свободное (соответственно аффинно порождающее) тогда и только тогда, когда свободное (соответственно множество образующих). (Напомним, что не зависит от выбора .) Отсюда вытекает

Предложение 4.6. Для того, чтобы подмножество

пространства ℰ было аффинно порождающим, необходимо и достаточно, чтобы не содержалось ни в какой аффинной гиперплоскости в ℰ.

Наконец, применяя предложение 3.7, получим

Предложение 4.7. Если ℰ- аффинное пространство конечной размерности

, то любой его аффинный репер образован точками.

Обратно, для того, чтобы

точек в ℰ образовали аффинный репер, необходимо и достаточно, чтобы векторов образовали базис , или (эквивалентное условие) чтобы точки не принадлежали одной аффинной гиперплоскости.

Заметим, что если

есть ЛАМ конечной размерности в ℰ и - аффинный репер в , то есть множество точек с . Этот способ параметризации часто полезен. В частности, аффинная прямая, соединяющая две точки в ℰ, есть множество точек .

Характеризация аффинных подпространств

Следующая теорема оправдывает элементарное определение плоскости в школьном курсе геометрии как такого множества

точек, что каждая прямая, имеющая с ним две общие точки, вся принадлежит .

Теорема 4.8. для того, чтобы непустая часть

пространства была линейным аффинным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы