Структура аффинного пространства над телом (стр. 14 из 19)

В этом случае

является множеством точек пространства , таких, что ; следовательно, это аффинная гиперплоскость с уравнением в базисе . Эндоморфизмы пространства , удовлетворяющие условию , - это те эндоморфизмы, матрица которых в базисе имеет вид

, (2)

где

- квадратная матрица порядка . Эндоморфизму с матрицей (2) соответствует аффинное отображение , координатное выражение которого в декартовом репере имеет форму

, (3)

Матричные вычисления показали бы, что для этого соответствия соблюдаются правила композиции отображений. С другой стороны, эндоморфизм

с матрицей (2) обратим тогда и только тогда, когда обратима матрица (2), и тогда выполняется и равенство . Таким образом, получается

Теорема 7.4. Группа аффинных биекций

-мерного аффинного пространства изоморфна подгруппе линейной группы , образованной матрицами вида (2), где принадлежит .

В частности, группа аффинных биекций

тела изоморфна подгруппе в , состоящей из матриц вида .

8.Геометрическая характеризация инъективных полуаффинных отображений.

Ниже мы обозначаем через

, два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами над произвольными телами . Мы дадим чисто геометрическую характеризацию полуаффинных отображений в . Для ясности начнем со случая инъективных отображений.

Теорема 8.1. Допустим, что

. Для того, чтобы инъективное отображение было полуаффинным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следующим двум условиям:

1. Образ любой аффинной прямой из

был аффинной прямой в ;

2. Образы двух параллельных прямых был параллельными прямыми.

Доказательство. Необходимость условия очевидна. Доказательство

достаточности проведем в несколько этапов, все время предполагая, что

удовлетворяет условиям 1) и 2).

А). Образы при

двух различных прямых , из суть также две различные прямые.

В самом деле, пусть

, - прямые в , имеющие один и тот же образ , пусть - две различные точки их общего образа. Тогда прообразы точек и принадлежат и одновременно и различны (в силу иньективности ), откуда следует, что .

Б). Отображение

, не зависит от выбора в .

В самом деле, пусть другая точка

и , таковы, что . Если

- несплющенный параллелограмм, то из 2) и А) следует, что его образ тоже настоящий параллелограмм, откуда

,

Если точки

принадлежат одной прямой , то предположение позволяет выбрать в точки так, что . Применяя предыдущий случай, имеем

откуда

.

Отображение

обозначаем отныне просто .

В). Отображение

инъективно и удовлетворяет условию

. (1)

Инъективность

сразу следует из инъективности . С другой стороны, для любых данных выберем в такие точки , , , и . Тогда .