Структура аффинного пространства над телом (стр. 15 из 19)

Д). Существует отображение

, такое, что

. (2)

Доказательство. Достаточно найти

, удовлетворяющее условию (2) при . Для заданной пары выберем , , в так, что , . Так как точки , и коллинеарны, то коллинеарны и векторы ; отсюда вытекает существование некоторого скаляра, скажем , такого, что . Остается доказать, что не зависит от вектора (по предположению ненулевого).

1). Если

два неколлинеарных вектора, то неколлинеарны и , ; в противном случае образы двух прямых , , проходящих через одну и ту же точку с направляющими , совпадали бы, что невозможно в силу А).

Для любого

имеем

,

откуда в силу неколлинеарности

,

.

2). Если

, - коллинеарные ненулевые векторы, то предположение позволяет выбрать так, что пары и свободны. Отсюда находим, что

.

Так для каждого

отображение , есть константа, мы обозначим ее через .

Е). Отображение

является изоморфизмом тел.

Выбрав

, мы увидим прежде всего, что соотношения и влекут (с учетом )

и ,

т.е. показывают, что

- гомоморфизм тел.

Наконец, для любой точки

отображение есть биекция на прямую ; ограничение на есть биекция на прямую . Следовательно, композиция , биективна. Отсюда вытекает, что отображение биективно.

Итак,

изоморфизм тел, полулинейное отображение, ассоциированное с , и полуаффинное отображение.

Случай плоскости.

Если

и двумерны, то условие 2) в теореме 8.1 следует из условия 1) и инъективности . Мы можем, таким образом, сформулировать

Следствие. Если

, аффинные плоскости и - инъективное отображение, такое, что образ любой прямой в есть прямая в , то полуаффинное отображение.

Замечание. Условия теоремы 8.1 выполняются, в частности, если

инъективное отображение в себя, такое, что образ любой прямой есть прямая, параллельная ; тогда можно непосредственно доказать, что дилатация.

9.Основная теорема аффинной геометрии.

Исходя из теоремы 8.1 и опираясь на характеризацию аффинных многообразий, представленную теоремой 4.8, мы докажем здесь следующую теорему:

Теорема 9.1. Пусть

, аффинные пространства над телами , , отличными от поля ; для того, чтобы отображение было полуаффинным, достаточно, чтобы