Структура аффинного пространства над телом (стр. 18 из 19)

Теорема 9.1 тем самым полностью установлена.

Этот результат особенно интересен в случае, когда тела

и совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда или при : в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга пространства в .

Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение

на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).

Так же и в случае

условие 1) выполнено для любого отображения в (поскольку каждая прямая в и состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.

Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.

Например,

, есть биекция векторного пространства над в векторное пространство над , и образ каждой прямой из при отображении содержится в фнекоторой прямой пространства , но не является полулинейным (поскольку и не изоморфны).

Лемма 6. Обозначим через

общее направление непустых ЛАМ в вида , где , и пусть - факторпространство по отношению эквивалентности , определенному условием .

Тогда

имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция является аффинной.

Доказательство. Выбор начала

в сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства По его векторному подпространству , и оказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку за начало в .

Отметим, что

является пространством орбит действия группы трансляций на ; это есть множество ЛАМ с направлением .(см. §2).

Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение

представляется в виде , где - инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что полуаффинно.

Доказательство. Существование и инъективность

вытекают из того, что соотношение равносильно (см. лемму 5), и тем самым . Для доказательства полуаффинности покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.

Пусть

– произвольная аффинная прямая , порожденная двумя различными элементами из . Без труда проверяется, что есть ЛАМ в , порожденное .

По лемме 3,

есть ЛАМ, порожденное ; итак (в силу инъективности ), является аффинной прямой .

Наконец,

не может сводиться к одной точке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и , что противоречит условию 2). Поэтому .

Отсюда следует, что

удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным на , при условии замены на . Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении двух параллельных прямых , из - две параллельные прямые. Наконец, удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены на ). Следовательно, полуаффинно и так же обстоит дело с .