Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 18 из 54)

₂ k=1

Найдем вариацию этой функции Лагранжа

dLi mivi2 N d N

δLi =

δt =δ[ +∑Lik (Rik ;vik )] = dt ∑k=1 Lik δt dt 2 k=1

При выводе последнего выражения мы учли, что i – частица покоится. Продолжим преобразование, воспользовавшись уравнением движения для k- частицы (5.1.2) δLi =[∑k^N=1 ⎛⎜⎜⎝ ∂∂RLikki v + ∂∂vLikki dvk ⎞^⎟]δt = k _{⎟ dt ⎠}

⎧ d N ∂Lik ⎫ ⎧ N ⎡ ∂Lik d ∂Lik ⎤⎫

⎨⎩ ∑ ∂vki vk ⎬⎭δt + ⎨⎩∑k=1 ⎣⎢∂Rki − dt ∂vki ⎥⎦⎬⎭vkδt dt k=1

Перенесем полную производную в левую часть

d ⎧ N ∂Lik ∂Lik ⎫ N

⎨Li −∑ ∂vki ∂vki vk − Li ⎬⎭=−∑k=1 Fik vk dt (5.1.6) dt ⎩ k=1

Выражение (5.1.6) – это изменение потенциальной энергии i – частицы при ее взаимодействии с другими частицами, при условии что i – частица покоится, а остальные частицы перемещаются и взаимодействуют только с ней. Суммируя (5.1.6) по индексу i , получим полное изменение потенциальной энергии всех взаимодействующих частиц.

N N N N N N N

dE = ∑dE_i = −∑∑F_ik v_k dt = −∑∑F_ik (v_k − v_i )dt = −∑∑F_ik dR_kidt (5.1.7)

i=1 i=1 k=1 i=1 k>i i=1 k>i

Как и (5.1.4) соотношение (5.1.7) инвариантно относительно преобразования Галилея. Оно выражается через работу всех сил, действующих на заряды замкнутой квазинейтральной системы. Поэтому величину dA, равную dA=dK =−dE , мы назовем дифференциалом работы, а саму величину A – работой.

5.2 Работа и сила

Выясним теперь содержание понятий «сила» и «работа». Понятию «сила» можно дать в классической механике следующее определение:

«Сила – это свойство материального объекта (источника данного свойства), которое проявляется при взаимодействии материальных объектов и приводит к изменению состояния взаимодействующих объектов (импульс, траектория и др.)».

• Отметим, что сила это свойство объекта, а не некий материальный объект. «Голой» силы, т.е. силы без источника, как свойства без объекта не бывает. Сила всегда имеет свой источник. Источниками сил могут быть самые разнообразные материальные объекты: заряд со своим полем, электромагнитная волна, которая несет с собой свое свойство – силовую характеристику, т.е. напряженность своего поля и т.д.

• Сила проявляется только во взаимодействии, т.е. во взаимном действии. Взаимность действия в классической механике отражается третьим принципом Ньютона. Для проявления силы необходимы, по крайней мере, два объекта, которые должны взаимодействовать.

• Очень важно, что сила зависит только от относительных величин: скоростей и расстояний. Положение субъекта-наблюдателя не влияет на силу взаимодействия. Как нами ранее было установлено, сила инвариантна относительно преобразования Галилея.

Работа является второй стороной (характеристикой) взаимодействия. Дадим следующее определение:

«Работа – объективная количественная характеристика качественного изменения движения материи, характеризующая энергетическую сторону взаимодействия».

• Отметим, что работа связана не с движением объекта относительно наблюдателя, т.е. не с самим движением в системе отсчета наблюдателя, а с качественным измерением движения, рассматриваемым в любой фиксированной инерциальной системе отсчета.

Качественное изменение движенияв широком смысле есть переход одного вида энергии в другой, от одного материального объекта к другому.

• Работа – объективное понятие. Работа определяется в механике относительным движением материальных объектов, а также движение не зависит от положения наблюдателя. Это определяет инвариантность работы относительно преобразования Галилея, т.е. независимость работы от волевого выбора наблюдателем инерциальной системы отсчета.

Если сопоставить эти понятия с соответствующими понятиями в теории относительности

Эйнштейна, заметно принципиальное концептуальное различие. Интерпретация понятий

«работа» и «сила» в этой теории не соответствует содержанию этих понятий в ньютоновской механике.

Ниже мы рассмотрим примеры, чтобы объяснить характерные гносеологические ошибки, которыми насыщена современная физика.

Первый пример. Рассмотрим два взаимодействующих тела. Уравнения движения этих тел имеют вид:

dv¹ dv²

m₁ = F₁₂и m₂ = F₂₁ (5.2.1) dt dt

Вычислим дифференциал работы.

dA =F₁₂(v₁ −v₂)dt =F₁₂dR₁₂ =F₂₁dR₂₁ (5.2.2)

Работа, которую совершает каждая частица, равна

m² m¹

dA₁ = F₁₂dR₁₂ и dA₂ = F₁₂dR₁₂ (5.2.3) m1 + m2 m1 + m2

Часто в учебниках можно встретить следующее выражение для работы, совершаемой телами:

~ ~

dA = F v dt и dA = F v dt (5.2.4)

12 1 21 2

Выражение (5.2.4) может считаться правильным, если источники сил F₁₂ и F₂₁ покоятся в системе отсчета наблюдателя одновременно (δR₁ = 0; δR₂ = 0). Однако это невозможно.

Выражение (5.2.4) можно рассматривать как стандартную гносеологическую ошибку. Сила всегда является свойством взаимодействующего тела. Это свойство ошибочно отрывают от частицы и превращают в некую самостоятельную субстанцию, которая покоится в системе отсчета наблюдателя. В результате такого подхода появляется «работа», которая зависит от субъективного выбора наблюдателем инерциальной системы отсчета (см. Парадокс рычага в Главе 3). Ее нельзя рассматривать как реальную, действительную работу [3].

В научной литературе [4] можно прочитать, что

mv² dA = d

= evEdt (5.2.5)

2

Выражение (5.2.5) справедливо только при условии, что источник поля E покоится в системе отсчета наблюдателя. В общем случае это выражение неверно, поскольку движение источника электрического поля не учитывается. К сожалению, до настоящего времени эта кажущаяся работа фигурирует в физике как объективное понятие (см. Приложение 3).

Второй пример. Здесь мы рассмотрим функцию Гамильтона, используемую в современной физике [4]. В классической механике малых скоростей (v << c) функция Лагранжа для заряда в электромагнитном поле равна:

mv²

L =

+ evA − eφ (5.2.6)

2

В этом приближении импульс частицы равен p = mv = P − eA (5.2.7) и функцию Гамильтона записывают в следующей форме

1 ²

H =

(P − eA) + eφ (5.2.8)

2m

Такой гамильтониан широко используется в современной физике. Из уравнения (5.2.7) следует, что фактически функция H равна

mv²

H =

+ eφ (5.2.9)

2

Векторный потенциал A исчез из выражения (5.2.8). Таким образом, выражение (5.2.8) есть фикция (подлог, если хотите).

Обычно молчаливо предполагается, что в (5.2.8) векторный потенциал A не зависит от движения заряда. Однако это неверно. Мы вычисляем A в точке, где движущийся заряд находится в данный момент. Движущийся заряд проходит поочередно точки с различными значениями A. Следовательно, потенциал A в точках нахождения заряда может меняться и зависеть от положения заряда и скорости его движения в поле. Обобщенный импульс должен быть равен