Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 50 из 54)

Рис. 15.4. Скачок фазы при прохождении волной фокуса

Хотя эти «скачки фазы» следуют как из приближенных, так и из точных математических решений уравнений волновой электродинамики, они вызывают сомнение в своей «физичности». В природе таких резких скачков не существует.

15.2 Переопределение областей изменения аргумента

Уравнение Гельмгольца для потенциала u,

Δu + k ²u = 0 (15.2.1)

распространяющегося вдоль оси z и сходящегося в фокус в начале координат сферической системы, приводит к следующему решению

u (15.2.2)

n _m kr

где a_mnи b_mnпостоянные, которые определяются из условий задачи; P^m_n – шаровые функции; J_n+1/2 (kr) – функция Бесселя; m, n = 0, 1, 2, … .

По условию задачи угол раствора конуса сходящейся в фокус волны должен быть ограничен величиной 0 < θ < π / 2.

Расположим ось z вертикально, как показано на рис. 15.5.

Рис. 15.5

В современной теории область определения независимых переменных в сферических координатах определяется следующим образом: r (0 ÷ ∞); θ (0 ÷ π); ϕ (0 ÷ 2π). Однако мы можем изменить ее, приняв, например, следующие:

r (- ∞ ÷ ∞); θ (0 ÷ π); ϕ (0 ÷ π), или r (- ∞ ÷ ∞); θ (0 ÷ π/2); ϕ (0 ÷ 2π) и др.

Конечно, здесь могут возникнуть возражения, касающиеся цилиндрической системы координат. Этот вопрос будет рассмотрен и обоснован позже.

Итак, сделаем очевидную замену переменных r → - r; θ → (π - θ) и ϕ → (ϕ + π) в выражении (15.2.2). При такой замене точка А сохраняет неизменным свое положение в пространстве. u

n _m kr

n _m kr

Как мы видим, выражение сохранило прежний вид, что подтверждает наше допущение о возможности использовать функцию r в области ее отрицательных значений. А это, в свою очередь позволяет анализировать различные представления функций Бесселя и записывать математические результаты в удобно интерпретируемой форме.

В последующем мы будем использовать следующие известные соотношения [3], которые мы позже обоснуем с других позиций.

1 ^iπ eiπn (−1)n

J _{n+1/ 2} (kre ) = _{n+1/ 2} (kr)] = (kr) (15.2.3)

N_{n+1/ 2} (kre^iπ) =N_{n+1/ 2}N_{n+1/ 2} (kr) (15.2.4)

H n(1+)1/ 2 (kreiπ) =n(2+1) / 2 (kr) (15.2.5)

H n(2+1) / 2 (kreiπ) =n(1+)1/ 2 (kr) (15.2.6)

Вернемся к выражению (15.2.2) и представим функцию Бесселя в виде суммы функций Ганкеля первого и второго рода

1 ^m

u = ∑∑ J _{n+1/ 2} (kr)P_n (cosθ)[a_mn cosmϕ+ b_mn sinmϕ] =

n m

b_mn sinmϕ]

n _m 2 kr

В силу обозначенных ранее условий для сходящейся в фокус волны, решение может выражаться через функцию Ганкеля второго рода. По этой причине мы преобразуем первый член суммы функций Ганкеля в скобках, используя область отрицательных значений r (см. рис. 15.5). Сделаем очевидную замену переменных в функции Ганкеля первого рода r → - r; θ → π - θ и ϕ → ϕ + π и воспользуемся выражением (15.2.5). При такой замене, как уже говорилось, точка А сохраняет свое положение в пространстве неизменным.

b_mn sinm(ϕ + π)] = (15.2.7)

b_mn sin mϕ]

Выражения (15.2.2) или (15.2.7) для той же задачи мы можем преобразовать и к другой форме

1

Хотя мы провели все выкладки формально корректно, результат получился неожиданным (можно сказать: фантастическим). Его необходимо каким-то образом объяснить, поскольку выражения (15.2.2), (15.2.7), (15.2.8) несопоставимы с физической точки зрения. Заключение о том, что нельзя использовать область отрицательных значений радиуса, мы отбросим, как некорректное.

15.3 «Скрытые» источники потенциала

Итак, попытаемся выяснить причины получения противоречивых результатов. Обратимся к закону сохранения энергии [4] и запишем интегралы для потоков.

1 ∂u * 0 *

П = ^∫S 2iωu

∂_r r ds , где u - комплексно сопряженное значение потенциала.

Интегрирование будем вести по поверхности сферы постоянного радиуса R с областью определения переменных: r (- ∞÷ ∞); θ (0 ÷ π/2); ϕ (0 ÷ 2π)

Рассмотрим для сравнения один и тот же член суммы в выражениях (15.2.2), (15.2.7), (15.2.8), например, с индексами m и n.

Выражение (15.2.2)

iωr 2 ∂ (J n+1/ 2 ) 2 π / 2 2πiω m 2

П = ^{∫ ∫} 4 [P_n (cosθ)[a_mn cosmϕ+ b_mn sin mϕ] sinθdϕdθ −

4 ∂r kr 0 0R

[P_n^m (cosθ)[a_mn cosmϕ+ b_mn sin mϕ]² sinθdϕdθ = 0

Мы получили нуль, поскольку меняется направление вектора плотности потока по отношению к внешней нормали поверхности сферы n⁰.

Выражения (15.2.7) и (15.2.8). Здесь для оценки выберем достаточно большой радиус R, чтобы воспользоваться асимптотическими формулами для функций Ганкеля.

H n(1+)1/ 2 (kr) ≈ei(kr−nπ / 2−π / 2) (1+ O(1/ kr));

H n(2+1) / 2 (kr) ≈e−i(kr−nπ / 2−π / 2) (1+ O(1/ kr))

Нетрудно видеть, что при больших R имеем для (15.2.8)

π / 2 2π

2kω ^{m 2 2}

П ≈ −2[P_n (cosθ)] [a_mn cosmϕ + b_mn sin mϕ] sinθdϕdθ =

(15.3.1)

[P_n^m (cosθ)]² [a_mn cosmϕ + b_mn sinmϕ]² sinθdϕdθ π k 0 0

и для (15.2.7)

4ω ^{m 2 2}

П ^{∫ ∫} (15.3.2) _{π k} 0 0

Здесь мы учли, что интегралы для R и для -R одинаковы.

Поскольку в свободном пространстве нет источников, поток направлен от центра системы координат (15.2.7) или к центру (15.2.8). Исходя из физических соображений, можно сказать, что это может быть только в том случае, если в начале координат существует излучающий источник (15.2.7) или источник, поглощающий энергию (152.8). Сингулярность при r = 0 в уравнении Бесселя приводит к появлению «скрытых» источников, что фактически равнозначно неоднородному уравнению Бесселя с мультипольными источниками типа δ - функций в начале координат (см. рис. (15.6)).