1)при обозначении свойств класса объектов ("Многие окружающие нас предметы имеют длину".)
2)при обозначении свойства конкретного объекта из этого класса ("Этот стол имеет длину".)
3)при сравнении объектов по этому свойству. ("Длина стола больше длины парты".)
Однородные величины— величины, которые выражают одно и то же свойство объектов некоторого класса.
Разнородные величины выражаютразличные свойства объектов (один предмет может иметь массу, объем и др.).
Свойства однородных величин:
1.Однородные величины можно сравнивать. Для любых величин ab справедливо только одно из отношений: а < b, a > b, a = о.
Например, масса книги больше массы карандаша, а длина карандаша меньше длины комнаты.
2. Однородные величины можно складывать и вычитать. В результате сложения и вычитания получается величина того же рода.
Величины, которые можно складывать, называются аддитивными. Например, можно складывать длины предметов. В результате получается длина. Существуют величины, которые не являются аддитивными, например, температура При соединении воды разной температуры из двух сосудов, получается смесь, температуру которой нельзя определить сложением величин.
Мы будем рассматривать только аддитивные величины. Пусть: а — длина ткани, b— длина куска, который отрезали, тогда: (а — b) — длина оставшегося куска.
3. Величину можно умножать на действительное число. Б результате получается величина того же рода. Пример: "Налей в банку 6 стаканов воды. " Если объем воды в стакане — v, то объем воды в банке — 6v.
4. Однородные величины делят. В результате получается неотрицательное действительное число, его называют отношением величин.
Пример: "Сколько ленточек длиной b можно получить из ленты длиной а ?" ( х = а : b )
5. Величину можно измерить.
9. Этапы развития понятия натурального числа и нуля. Натуральный ряд и его свойства. Счет.
ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА.
Числа 1, 2, 3,... называют натуральными. Понятие натурального числа является одним из основных математических понятий. Возникло оно из потребности практической деятельности людей Чтобы прийти к понятию числа, человек в своем развитии прошел несколько этапов:
I. Множества сравнивались непосредственно путем установления взаимно однозначного соответствия между их элементами. ("Яблок столько, сколько человек за столом"). Аналогично дошкольники сравнивают множества способом наложения и приложения.
Неудобство заключается в том, что оба множества должны быть одновременно обозримы.
II.Вводятся множества—посредники (камешки, зарубки, узелки, пальцы,...). Человек не отвлекается от конкретных предметов, но уже выделяет общие свойства рассматриваемых множеств ("иметь поровну элементов").
III.Происходит отвлечение от природы множеств—посредников, возникает понятие натурального числа. При счете человек уже не говорил: "Один камешек, два камешка,...", а проговаривал числа: "Один, два, три,...". Это был важнейший этап в развитии понятия числа.
И.Н.Лузин (крупнейший математик современности):
"Мы должны склониться перед гением Человека, создавшего (не открывшего, а именно создавшего) понятие единицы. Возникло Число, а вместе с ним возникла Математика. Идея Числа — вот с чего начиналась история величайшей из наук".
IV.Числа стали не только называть, но записывать и выполнять с ними действия. Появились различные системы счислений.
Числа стали предметом изучения и возникла наука арифметика. Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте, развивалась учеными Древней Греции, стран Арабского мира, а начиная с 18 в. — европейскими учеными. Термин "натуральное число" впервые употребил римский ученый А. Боэций (ок.480 — 524 г.г.).
В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучаются в разделе математики который называется теорией чисел.
Процесс формирования представлений о числе у дошкольников в общих чертах повторяет основные этапы исторического развития этого понятия. Сначала дети сравнивают множества приемами наложения и приложения, затем соотносят с количеством пальцев на руке, затем используют натуральные числа при счете.
НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД И ЕГО СВОЙСТВА. СЧЕТ.
К возникновению понятия числа приводят два вида деятельности: счет и измерение. Счет ведет к натуральному числу, измерение — к действительному числу.
Множество натуральных чисел называют натуральным рядом. Он обладает свойствами:
—имеется начальное число (1),
—за каждым числом следует только одно число,
—каждое последующее число на 1 больше предыдущего, а предыдущее на 1 меньше последующего (n ± 1).
—натуральный ряд бесконечен.
При счете используются не все натуральные числа, а только их часть, достаточная для определения количества элементов в множестве.
Например, чтобы определить число элементов в множестве ( а..с.b.е ), нужен отрезок натурального ряда {1,2,3,4,5 }.
Отрезком натурального ряда Nназывается множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.
N5 = { 1,2,3.4,5}
Во время счета мы следуем некоторым правилам:
—считаем каждый элемент только один раз, не пропуская ни одного,
—числа называем последовательно, начиная с единицы, не пропуская ни одного и не используя дважды.
Счетом элементовмножества А называется установление взаимно однозначного соответствия между множеством А и отрезком 1 натурального ряда Na
Число а называют числом элементов в множестве А. оно единственное для данного множества и является характеристикой количества элементов в множестве А или, короче, количественным натуральным числом.
В процессе счета происходит также упорядочивание элементов множества А (первый элемент, второй, третий,...), т.е. натуральное число можно рассматривать и как характеристику порядка элементов в множестве А или короче, как порядковое число. В этой роли натуральное число выступает, когда хотят узнать, каким по счету является тот или иной элемент множества.
Натуральное число как результат счета не зависит от того, в каком порядке пересчитывались элементы множества, важно, чтобы соблюдались правила счета.
Многие родители допускают ошибку, говоря, что ребенок умеет считать до ста, когда тот может только называть числа от 1 до 100, т.е. запомнил последовательность числительных/ При обучении дошкольника счету, необходимо научить его устанавливать взаимно однозначное соответствие между предметами и числами, чтобы избежать ошибок (пропуск предметов сосчитывание одного предмета несколько раз, непонимание сколько же всего предметов и др.).
Количественные и порядковые числа тесно связаны, и возможен переход от одного к другому, в зависимости от цели счета. Сам счет служит для упорядочивания элементов множества или для определения их количества.
10. Способы записи чисел особенности десятичной системы счисления.
СПОСОБЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ.
Человеку необходимо уметь правильно называть и записывать числа, уметь правильно выполнять действия над ними. Для решения этой проблемы люди разных стран изобретали различные системы счисления.
Система счисления — язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними.
Самой старой системой счисления считается двоичная. Человек вел счет не при помощи пальцев, а при помощи рук. Следы этой системы сохранились и сегодня в стремлении считать парами. В компьютерной технике также используется двоичная система счисления.
Переход к пальцевому счету привел к созданию пятеричной системы, десятеричной и др.
В Древнем Вавилоне считали группами по 60, система счисления была шестидесятеричная.
Сейчас наиболее широкое применение получила десятичная система счисления, хотя используются и другие:
шестидесятеричная — при измерении времени,
двенадцатеричная — при счете дюжинами,
двоичная — при счете парами и др.
Различают позиционные и непозиционные системы счисления. Примером непозиционной системы может быть римская нумерация. В ней 7 знаков:
I — один V — пять X — десять L — пятьдесят С — сто D— пятьсот М — тысяча
Все другие числа получаются из этих семи при помощи двух арифметических действий: сложения и вычитания. Например IV— четыре (5 — 1 = 4), VI — шесть (5 + 1 = 6). Записи IV и VI показывают, что римская система счисления непозиционная — где бы не стоял знак V или I — он всегда имеет одно и то же значение.
Примером позиционной системы счисления является используемая повсеместно десятичная система. В ней для записи чисел используется 10 цифр, и значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа. Например, в записи 253 цифра 2 обозначает сотни в записи 325 — цифра 2 обозначает десятки, а в записи 532 — цифра 2 обозначает единицы.
ОСОБЕННОСТИ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Трудности в развитии науки были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системой записи чисел и понятия нуля. Ее завезли в Европу арабские купцы поэтому ее долго называли арабской.
В десятичной системе счисления для записи чисел используются 10 знаков (цифр): 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Для краткости записи цифры пишут друг за другом, а значение цифры зависит от ее места, считая справа налево.
Например: 5457 — краткая запись числа "пять тысяч четыреста пятьдесят семь". Подробная запись этого числа выглядит так: 5000 + 400 + 50 + 7 или, более строго,
5- 103 + 4 102+5- 10 + 7.
Десятичной записью числа хназывается его представление в виде: х - а„10" + агИ 10+l+ ....+ а^-70 + ас где ahа„_/; а1 ас принимают значения: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, и а„# 0.