Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 14 из 25)

«Исключение» (b = ±1 или c = ±1) в «Утверждении 1» на Великую теорему Ферма не распространяется, т.к. в теории чисел хорошо известно, что целые числа a, b, c, удовлетворяющие соотношению (44) (если такие существуют) должны удовлетворять неравенствам | a | > p, | b | > p, | c | > p(Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М. – Наука. – 1982. - С. 13).

Вывод:Великая теорема Фермадля степени

простом доказана.

********

Утверждение 2,

частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для показателя q = 4

Часть 1

Уравнение

(

- четное, q = 4 = 2^m, гдеm = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах

,

и

таких, чтобы

- было четным,

и

- нечетными целыми числами.

Часть 2

Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.

**********

Часть первая(Утверждения 2)

Уравнение

(

- четное, q = 4 = 2^m, гдеm = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах

,

и

таких, чтобы

- было четным,

и

- нечетными целыми числами.

Доказательство

Итак, имеем уравнение

(1), где

- четное, числаa, b, c (если, конечно, онисуществуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 2»), среди которых только одно четное число a.

Из уравнения (1) следует:

=>

(2).

Пусть

(3), где и β- целые числа, отличные от нуля и c² + b² = 2 β(4), где β –нечетноечисло при cи b- нечетных.

*********

Примечание

То, что βв уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который легко доказывается.

Представим нечетные числа b и c в виде:

b = 2n₁ + 1; c = 2n₂ + 1,

где n₁ и n₂- произвольные целые числа. Тогда

b² + c² = (2n₁ + 1)² + (2n₂ + 1)² = 2 [2 (n₁²+n₂²+n₁+n₂) + 1],

где в квадратных скобкахнечетное число, что и требовалось доказать.

*******

Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4):

= , где c² + b² ≠ 0, т.к. c≠ 0, b≠ 0, т.е.

(5),

где k – целое число, отличное от нуля, т.к. cи b взаимно простыецелые числа (при

– целое числоk - четное число, т.к.

пропорционально 4 (явно) при b и с – нечетных числа => 2^l-2k– четное число при ).

Из соотношений (4) и (5) определяем b² и c²:

=> =>

Откуда β = b² + 2^l-2k(8) - нечетное число(из (4)) при b– нечетном и 2^l-2k- четном.

*********

Вывод:

1. Из соотношения (4) имеем:

(9)

- нечетное число.

2. Из соотношения (5) имеем:

(10)

пропорционально 2 (явно), т.е.

- четное число.

Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах

, которая в дальнейшем нам очень пригодится.

*******

Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и

. Учитывая соотношения (6) и (7), получим:

,

т.е. (11),

где

- целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целыечисла

следующим образом:

(12)

- нечетное число при - нечетном;

(13)

- нечетное число при - нечетном;

(14)

- нечетное число при - нечетном;

(15)

- четное число.

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 иr=0 (при t =0

и - четные из (12) и (13), при r=0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению). .

*******

Для простоты опять обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.

= С

= В

= N

= К,

и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1.

********