Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 3 из 25)
*******
Примечание.
Общий вид уравнения (15) следующий:
(20)
,целыми решениями которого (это известный факт в теории чисел) являются:
(21)
;(22)
;(23)
;(24)
, где 
- целые числа.То, что (21), …, (24) являются решениями уравнения (20), легко проверяется их подстановкой в данное уравнение (20), которое при этом превращается в тождество.
*******
Для простоты обозначим правые части уравнений (16), …, (19) буквами С, В, N, К, т.е.
= С 
= В 
= N 
= К,и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (16), …, (19) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие 1.
Условие1 (начало).
с = С
b = B
n = N
Случай «+».
(16+)
= С - нечетное число при 
- нечетном;(17+)
= В - нечетное число при - нечетном;(18+)
= N - нечетное число при - нечетном;(19+)
= К - четное число.Казалось бы, все в порядке: четность
в (16+), …, (19+) совпадает при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.Однако не все так просто.
Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (13) и (14) (очетности, заключенной в «Выводе» (стр.5)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 1», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа
.Попробуем найти сумму 
, воспользовавшись их выражениями (16+) и (17+):
,т.е.
пропорционально 4, откуда следует, учитывая (13) в «Выводе» (стр.5), 
!Т.е., вопреки «Выводу», в Случае «+»
является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18+)) при 
-четном.Однако, если - четное, то (в (16+) и (17+))являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа 
- четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целымичислами.
Мы пришли к противоречиюв Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых
решений.Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Казалось бы, 1-я часть «Утверждения 1» доказана. На самом деле у уравнения (15)
есть еще решения. Нетрудно догадаться, что решениямиуравнения (15) являются следующие выражения 
n, 
:Случаи «+» и «-».
(16±)
;(17±)
;(18±)
;(19±)
.Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (16±), …,(19±) стояли только «плюсы» (Случай «+»)
******
Случай «-».
(16-)
;(17-)
;(18-)
;(19-)
.Случай, когда перед теми же скобками стоят только «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному Случаю «+».
И в этом случае сумма
пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), !Т.е., вопреки «Выводу», и в этом Случае «-»
является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18-)) при -четном.Однако, если - четное, то (в (16-) и (17-))являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целымичислами.
Мы пришли к противоречию (в Случае «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых
решений.*******
Вывод. Следовательно, уравнение (1) в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Примечание.
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 1.
********
Т.к. уравнение (15) симметрично для с и b (для уравнения (15) они равнозначны), тосиbмогут обмениваться не только знаками «+» и «-», но и своими выражениями (Cи В). Это свойство назовем «новым свойством 
». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.
Условие 2 (начало)
с =B
b = С
n = N
«Новые» случаи«+» и «-».
(16´±) c
=± В (17´±) b
=±С (18±)
=±N(19±)
=±КИ в этом случае сумма
пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), !Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях«+» и «-»
является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (18±)) при -четном.Однако, если - четное, то (в ((16´±) и ((17´±))являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целымичислами.