Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 2 из 25)

Доказательство

Понятно, что доказательство достаточно рассмотреть для

- простого.

Докажем данное «Утверждение 1» методом от противного. Предположим, что уравнение

разрешимо в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и . И если в конце доказательства мы придем к противоречию, доказав, что числа , и не являются попарно взаимно простыми целыми числами, то это будет означать, что «Утверждение 1» справедливо.

Из уравнения (1) следует:

(2),

где

- четное целое число, т.к. и - нечетные;

≠ 0, т.к. и - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю;

- нечетное целое число при и - нечетных,

- простом.

********

Примечание

То, что

- нечетное число при и - нечетных, хорошо известный факт в теории чисел.

Для подтверждения данного факта достаточно использовать разложение бинома

Ньютона

, , , … и тогда получим для :

- сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для

:

- сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для степени

- простой можно доказать, что при и нечетных

(3)

- сумма нечетных слагаемых, равная нечетному числу(Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23).

*******

Пусть

(4),

где

- нечетное число (на основании (3)).

Тогда уравнение (2) примет вид:

(5),

где

- четное число, которое можно представить в виде

(6),

где

- целое число (при = 0 а = 0, что противоречит нашему допущению),

(4) – нечетное число.

Тогда из соотношения (5) с учетом (6) получаем:

, т.е. (7), где - целое число ( ), - натуральное число.

Сумму же нечетных чисел

и обозначим через , т.е.

(8),

где

- целое число ( , т.к. и - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю).

Из (7) и (8) определим

и :

=> =>

Откуда (11)

- нечетное число при - нечетном и - четном, т.к. , причем (12)

(явно) при .

********

Вывод:

На основании (8) и (11) имеем: (13)

- нечетное число;

из соотношений (7) и (12) имеем: (14)

(явно) при

.

Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах

, которая в дальнейшем нам очень пригодится.

*******

Теперь попробуем выразить сумму квадратов чисел c и

. Учитывая соотношения (9) и (10), получим:

Таким образом, получили следующее уравнение:

(15),

где

- целые числа, которые, являясь решениями уравнения (15), в свою очередь, могут быть выражены через другие целые числа следующим образом:

(16)

- нечетное число при - нечетном;

(17)

- нечетное число при - нечетном;

(18)

- нечетное число при - нечетном;

(19)

- четное число.

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать

t =0 иr=0 (при t =0

и - четные из (16) и (17), при r=0 = 0 (из (19)) => а = 0 (из (6)), что противоречит нашему допущению).