Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 7 из 25)

(40´),

(38),

(41´),

(33´), где

- взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай7

(16)

(17´)

(18´)

(19´)

Тогда сумма

имеет вид:

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность

:

=> (26´).

Выразим из (25) и (26´)

:

=>

=> .

По условию

должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель

.

Т.о.,

имеют вид:

(30´), (31´), а их сумма .

Т.к. из (8)

, то =>

.

Из (19´), с учетом (29), выразим

:

, т.е.

(33´).

Т.о.,

, , т.е.

(34´),

(35´),

выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность

:

т.к.

, т.е. (36´).

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), найдем разность (b-n)-n:

где .

Т.к. b+c=2n, то b-2n= b-(b+c) = -c= -1 => c= 1 (40).

Учитывая (34´), получим

=>

(38´´´).

Теперь, с учетом (38´´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35´)):

, т.е.

(41´´).

Таким образом, уравнение

(15), решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19´), в конечном счете, имеет следующие решения:

(40),

(38´´´),

(41´´),

(33´), где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 8

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (16), (17′), (18´) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41´), (38´´´) и (33´), т.е.

(40´),

(38´´),

,

(33), где - взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Вывод

Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (15)

, где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение в следующих целых числах:

а)

;

;

;

;

б)

;

;

;

.

А это в свою очередь означает, что и уравнение

при вышеназванных условиях (смотри Утверждение1) может иметь целые решения либо при

, либо при

.

Случай 9

(16)

(17)

(18´)

(19)

Из (16) и (17) имеем:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность

другим способом:

=> .

Следовательно,

= => 2t = 4r( ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t = 2r(32´) => в (16) и (17) cиb– четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых

решений.